아이젠슈타인 급수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 아이젠슈타인 열(틀:Llang)은 일련의 모듈러 형식들이다. 모든 정칙 모듈러 형식은 아이젠슈타인 열의 처음 두 원소에 대한 다항식으로 나타낼 수 있다.

정의

모든 $k = 2, 3, 4, \dots$ 에 대하여, 아이젠슈타인 열 $G_{2 k}$ 는 다음과 같은 모듈러 형식이다.

G_{2 k} (τ) = \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} (m + n τ)^{- 2 k}

$G_{2 k}$ 는 무게가 $2 k$ 인 정칙 모듈러 형식이다. 만약 $k = 1$ 인 경우는 이는 모듈러 형식을 이루지 않는다. (무게가 2인 정칙 모듈러 형식은 존재하지 않는다.)

모듈러 불변량(틀:Llang) $g_{2}$ , $g_{3}$ 는 아이젠슈타인 열의 처음 두 원소와 다음과 같이 대응한다.

g_{2} = 60 G_{4}

g_{3} = 140 G_{6}

아이젠슈타인 열의 푸리에 급수는 약수 함수 $σ_{k} (n)$ 으로 나타내어진다. $q = \exp (2 π i τ)$ 라고 쓰면

\frac{(2 k - 1)!}{(2 π i)^{2 k}} G_{2 k} = \frac{1}{2} ζ (1 - 2 k) + \sum_{n = 1}^{\infty} σ_{k - 1} (n) q^{n}

이다. 여기서 $ζ$ 는 리만 제타 함수다.