스하우턴-네이엔하위스 괄호

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호(틀:Llang)는 완전 반대칭 텐서장에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다.^[1] 이를 통해, 완전 반대칭 텐서장들은 거스틴해버 대수를 이룬다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 완전 반대칭 $(k, 0)$ 차 텐서장의 공간

V^{k} = Γ (⋀^{k} T M)

을 생각하자. 이 위에는 올별 쐐기곱

(\land) : V^{k} \otimes V^{l} \to V^{k + l}

이 존재하며, 이에 따라서 $V = ⨁_{k = 0}^{\dim M} V^{k}$ 는 등급 가환 대수를 이룬다.

이 위의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같은 연산이다.

[-, -] : V^{m} \otimes_{ℝ} V^{n} \to V^{m + n - 1}

이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.

[X, -] = ℒ_{X} \forall X \in V^{1}

[f, g] = 0 \forall f, g \in V^{0}

[α, β \land γ] = [α, β] \land γ + (-)^{\deg β (\deg α - 1)} β [α, γ] \forall α, β, γ

[α, β] = (-)^{1 + (\deg α - 1) (\deg β - 1)} [β, α]

이에 따라,

Γ (⋀ T M)

는 쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.

𝔤_{0} = Γ (⨁_{i} ⋀^{2 i + 1} T M)

𝔤_{1} = Γ (⨁_{i} ⋀^{2 i} T M)

𝔤 = 𝔤_{0} \oplus 𝔤

위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.

(-)^{(\deg a - 1) (\deg c - 1)} [a, [b, c]] + (-)^{(\deg b - 1) (\deg a - 1)} [b, [c, a]] + (-)^{(\deg c - 1) (\deg b - 1)} [c, [a, b]] = 0

틀:본문 푸아송 다양체 $(M, π)$ 의 경우, 정의에 따라 $[π, π] = 0$ 이다. 이에 따라서 $[π, -]$ 는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 푸아송 코호몰로지라고 한다.

구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.

차수 $(\deg X, \deg Y)$	대칭성	스하우턴-네이엔하위스 괄호 $[X, Y]$	비고
(0,0)	대칭	$0$	상수 함수
(0,1)	반대칭	$[X, Y] = - (\partial_{i} X) Y^{i}$	스칼라장의 벡터장 방향 미분
(1,1)	반대칭	$[X, Y]^{i} = X^{l} \partial_{l} Y^{i} - (\partial_{l} X^{i}) Y^{l}$	벡터장의 리 미분
(0,2)	대칭	$[X, Y]^{i} = - (\partial_{l} X) Y^{l i}$	스칼라장의 기울기와의 내부곱
(1,2)	반대칭	$[X, Y]^{i j} = X^{l} \partial_{l} Y^{i j} - (\partial_{l} X^{i}) Y^{l j} - (\partial_{l} X^{j}) Y^{i l}$	텐서장의 리 미분
(2,2)	대칭	$[X, Y]^{i j k} = X^{l k} \partial_{l} Y^{i j} + X^{l i} \partial_{l} Y^{j k} + X^{l j} \partial_{l} Y^{k i} + (\partial_{l} X^{k i}) Y^{l j} + (\partial_{l} X^{i j}) Y^{l k} + (\partial_{l} X^{j k}) Y^{l i}$

얀 아르놀뒤스 스하우턴(틀:Llang)^[2]^[3]과 알버르트 네이엔하위스(틀:Llang)^[4]가 도입하였다.