순수 스피너

틀:위키데이터 속성 추적 수학과 이론물리학에서 순수 스피너(純粹spinor, 틀:Llang)는 가장 많은 수의 디랙 행렬들에 의하여 상쇄되는 바일 스피너이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 짝수 차원 복소수 벡터 공간 $V={ℂ}^{2n}$
• 이차 형식 $Q:V\to ℂ$. 그렇다면, 복소수 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q)$를 정의할 수 있다.
• 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q)$의 왼쪽 가군 $M$.

그렇다면, 임의의 원소 $\psi \in M$에 대하여,

$\{v\in V:v\psi =0\}\subseteq V$

를 생각할 수 있다. 이는 $V$의 부분 벡터 공간이다.

이제, $M$이 $2n$차원 시공간의 (왼손 또는 오른손) 바일 스피너들의 공간이라고 하자. 그렇다면,

${\dim }_{ℂ}\{v\in V:v\psi \}\in \{0,1,\dots ,n\}$

이다. 만약

${\dim }_{ℂ}\{v\in V:v\psi =0\}=n$

이라면, $\psi$를 순수 스피너라고 한다.

성질

$V$의 $n$차원 부분 복소수 벡터 공간이 주어졌을 때, 그 작용이 0인, 순수 스피너의 복소수 1차원 공간(즉, 사영 순수 스피너)이 유일하게 존재하며, 이는 사영 순수 스피너와 $V$의 $n$차원 부분 공간의 그라스만 다양체

$\frac{\mathrm{SO}(2n;ℝ)}{\mathrm{U}(n)}$

사이의 동형을 정의한다. 즉, 사영 순수 스피너의 모듈러스 공간은 위와 같은 동차 공간이며, 순수 스피너의 복소수 벡터 공간은

$\frac{1}{2}{\dim }_{ℝ}\left(\frac{\mathrm{SO}(2n;ℝ)}{\mathrm{U}(n)}\right)+1=\frac{n(n-1)}{2}+1$

이다.

예

낮은 차원에서 순수 스피너들은 다음과 같다.

• 만약 $2n\le 6$이라면, 모든 바일 스피너가 순수 스피너이다.
• 8차원에서, 바일 스피너는 $2^4=8$개의 복소수 성분을 가지며, 순수 스피너들은 그 속에서 7차원 부분 공간을 이룬다.
• 10차원에서, 바일 스피너는 $2^5=16$개의 복소수 성분을 가지며, 순수 스피너들은 그 속에서 11차원 부분 공간을 이룬다.

참고 문헌

• 틀:웹 인용

외부 링크

• 틀:Nlab