선형 연속체

틀:위키데이터 속성 추적 순서론에서 선형 연속체(線型連續體, 틀:Llang)는 상한이 존재하는 조밀 전순서 집합이다.

정의

선형 연속체 $(L,\le )$는 다음 성질을 만족시키는 전순서 집합이다.틀:Rp

• 공집합이 아닌 모든 유계 집합은 상한을 갖는다.
• 조밀 순서이다.

성질

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 선형 연속체이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

임의의 $a,b\in L$에 대하여, 만약 $a<b$라면, 다음 부분 집합들 역시 선형 연속체이다.

• $(a,\mathrm{\infty })=\{x\in L:a<x\}$
• $(\mathrm{\infty },a)=\{x\in L:x<a\}$
• $[a,\mathrm{\infty })=\{x\in L:a\le x\}$
• $(\mathrm{\infty },a]=\{x\in L:x\le a\}$
• $(a,b)=\{x\in L:a<x<b\}$
• $[a,b)=\{x\in L:a\le x<b\}$
• $(a,b]=\{x\in L:a<x\le b\}$
• $[a,b]=\{x\in L:a\le x\le b\}$

예

선형 연속체의 예로는 다음을 들 수 있다.

• 실수선 $(ℝ,\le )$
  • 실수의 (열린/닫힌) 반직선
  • 실수의 (열린/닫힌) 구간
• 긴 직선
  • 이는 연결 공간이지만 축약 가능 공간이 아니다.
• 사전식 순서를 부여한 $[0,1]\times [0,1]$

그러나 다음은 선형 연속체가 아니다.

• 초실수선 ${}^{*}ℝ$
• 유리수의 전순서 집합 $\mathbb{Q}$

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 수슬린 가설