삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원

Mixtilinear Incircle

아래는 삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원(Mixtilinear Incircle)에 대한 설명이다.

개요

삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원은 3개가 있다. 그리고 이 원들의 두 변과의 접점의 중점이 삼각형의 내심이 된다. 또한 이 원들과 삼각형 외접원과의 접점과 마주보는 삼각형의 꼭짓점을 이은 세 개의 직선은 한 점에서 만나고, 이 점은 삼각형의 외심과 내심을 잇는 선 위에 있다.

기하학적 성질

$O_a,O_b,O_c$를 각각 변 AB, CA에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 X라 하자)하는 원, 변 AB, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Y라 하자)하는 원, 변 AC, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Z라 하자)하는 원이라 하자.

원의 위치

• 선분 AX, BY, CZ는 한 점에서 만나고, 그 점은 직선 OI위의 점이다.(O는 외심, I는 내심)

점 A는 내심과 $O_a$의 중심의 R(내접원의 반지름):($O_a$의 반지름) 외분점이다.(이는 닮음을 이용하여 쉽게 보일 수 있다.)

또한 X는 외심과 $O_a$의 중심의 r(외접원의 반지름):($O_a$의 반지름) 외분점이다.(외접원과 $O_a$가 접하므로 자명)

그러므로 달랑베르 정리에 의해 O와 I의 R:r 외분점은 선분 AX위에 존재한다.

같은 방법으로 선분 AX, BY, CZ는 O와 I의 R:r 외분점을 지난다.

• 내심 I는 $B_a$($O_a$와 변 AB의 접점)와 $C_a$($O_a$와 변 AC의 접점)를 잇는 선분의 중점이다.

직선 $X{C}_a$와 외접원이 만나는 또 다른 점을 $C_1$이라 하자.

(외접원에서 열호 $A{C}_1$과 열호 $BX$의 원주각의 합)= $\mathrm{\angle }B{C}_{a}X$=($O_a$에서 열호 $C_{a}X$의 원주각)=(외접원에서 열호 $C_{1}X$의 원주각) 이므로

$C_1$은 열호 AB의 중점이 된다.

$\therefore$($C_1$, $I$, $C$)$collinear$

$ISW$ $(B_1,I,B)collinear$

이제 $A,B,B_1,X,C_1,C$에 대한 파스칼의 정리에 의하여 내심 I는 $B_a$와 $C_a$를 잇는 선분 위에 있다.

그런데 내심 I는 각 BAC의 이등분선 위에 있으므로

$\therefore$내심 I는 $B_a$와 $C_a$를 잇는 선분의 중점이다.

원의 반지름

• $O_a$의 반지름은 $\frac{r}{co{s}^2(\frac{\mathrm{\angle }A}{2})}$이다.

$\overline{O_a{B}_a}=\frac{\overline{I{B}_a}}{cos(\frac{\mathrm{\angle }A}{2})}=\frac{\overline{I{B}_0}}{co{s}^2(\frac{\mathrm{\angle }A}{2})}=\frac{r}{co{s}^2(\frac{\mathrm{\angle }A}{2})}$( $B_0$ : 변 AC와 내접원의 접점)

• $C_a,B,X,I$는 한 원 위에 있다.

$\mathrm{\angle }BI{C}_a=\mathrm{\angle }ACI-\mathrm{\angle }ABI=\frac{\mathrm{\angle }C}{2}=\mathrm{\angle }{C}_{1}XB$이므로 성립한다. 마찬가지로 $B_a,C,X,I$등도 한 원 위에 있다.

두 원의 근축에 대한 성질

• 선분 XI는 각 BXC를 이등분한다.

$\mathrm{\angle }BXI=\mathrm{\angle }A{C}_{a}I=\frac{\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C}{2}=\frac{\mathrm{\angle }BXC}{2}$

세 원의 근심에 관한 성질

• $A_1$(A를 포함하지 않는 호 BC의 중점)은 원 $O_b,O_c$의 근축 위의 점이다.

$\overline{A_{1}B}=\overline{A_{1}C}$ 이므로 $\overline{A_1{A}_c}\overline{A_{1}Z}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{A_1{A}_c}}+\overline{A_1{A}_c}\overline{Z{A}_c}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{A_1{A}_c}}+\overline{B{A}_c}\overline{C{A}_c}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{A_{1}B}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{A_{1}C}}$($\because$스튜어트의 정리)이다.

마찬가지로 $\overline{A_1{A}_b}\overline{A_{1}Z}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{A_{1}B}}=\overline{A_{1}C}$ 이므로 $A_1$은 원 $O_b,O_c$의 근축 위의 점이다.