비르팅거 부등식 (실함수)

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 비르팅거 부등식은 푸리에 해석에서 사용되는 부등식이다. 빌헬름 비르팅거의 이름을 따서 명명되었다. 등주부등식을 증명하기 위해 1904년에 사용되었다. 밀접하게 관련된 다양한 결과는 오늘날 비르팅거 부등식으로 알려져 있다.

정리

첫 번째 형태

주기가 $2\pi$인 주기함수 $f:ℝ\to ℝ$가 연속 함수이고 $ℝ$ 전체에 걸쳐 연속 도함수를 가지며 다음을 만족한다고 하자.

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)dx=0.$

그렇다면 다음 부등식이 성립한다.

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f{\text{'}}^2(x)dx\ge \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}^2(x)dx$

이 부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 어떤 $a$, $b$에 대하여 $f(x)=a\sin x+b\cos x$인 것이며, 이는 어떤 $c$와 $d$에 대하여 $f(x)=c\sin (x+d)$인 것과 동치이다.

비르팅거 부등식의 이 형태는 최적의 상수에 대한 1차원 푸앵카레 부등식이다.

두 번째 형태

이와 관련된 다음 부등식도 또한 비르팅거 부등식이라고 한다. 틀:하버드 인용 $f$가 $f(0)=f(a)=0$을 만족하는 ${𝒞}^1$ 함수일 때마다

${\pi }^2\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f{|}^2\le a^2\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f^{\prime }{|}^2$

이 형태의 비르팅거 부등식은 프리드리히의 부등식의 1차원 꼴과 같다.

증명

두 부등식의 증명은 비슷하다. 다음은 첫 번째 형태에 대한 증명이다. 디리클레의 조건이 충족되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n\ge 1}(a_n\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi }}+b_n\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi }}),$

게다가 $f$의 적분이 소멸하기 때문에 $a_0=0$이다. 파르스발 항등식에 의해

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}^2(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$

이며

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f{\text{'}}^2(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2(a_n^2+b_n^2)$

두 급수의 항에 대하여 부등식하므로 원하는 부등식을 얻는다. 등식이 성립하는 경우는 모든 항이 같은 경우, 즉 모든 $n\ge 2$에 대하여 $a_n=b_n=0$인 경우이다.

참고 문헌

• 틀:인용
• Paul J. Nahin (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press 틀:ISBN
• Komkov, Vadim (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661–668.