골롬-딕맨 상수

틀:위키데이터 속성 추적 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant) 또는 골롬 상수 $\lambda$

수학에서 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant)는 무작위 순열 (랜덤 순열)이론과 수 이론에서 각각 보여진다.이것은 정수들의 확장에서 소수들간의 출현길이와 무작위한 랜덤 순열을 가장 크게 확장했을 때의 분포가 일치하는 값을 보이고 있다는 사실을 보여주는 놀라운 상수들간의 관계이다. 딕맨(Dickman,1930)에 의해 가장 큰 정수들 집합$\{1,....,n\}$중에서 균일하게 선택된 임의의 정수의 소수(prime number) 요소$P_1$에서, $E\left(\frac{log{P}_1}{logn}\right)\to 0.62432$ 딕맨 함수로 알려진 이 상수는 가장 큰 소수의 자릿수로 예상되는 수에서 해석된다. 이러한 "가장 크다고 여겨질수있는 무작위 정수의 자릿수에 대한 비율문제" 이후로, 골롬(Golomb,1964)이 무작위 순열에서 가장 긴 주기의 길이 $L_1$을 연구했을때, $S_n$에서 $E\left(\frac{L_1}{n}\right)\to 0.62432$를 발견했다. 여기서 딕맨의 상수가 골롬이 발견한 상수와 동일함에도 이 두 상수의 상관관계가 곧 바로 강하게 연관되지는 못했다.

그러나 이들의 관계가 확률상의 푸아송 분포와 정규 분포

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P({\alpha }_1=0)=\frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P({\alpha }_j=k)=\frac{1}{k!}{e}^{\frac{-1}{j}}{j}^{-k}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P((\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_j-\ln n)(\ln n{)}^{\frac{-1}{2}}\le x)=\mathrm{\Phi }(x)$

로 약하게 연관되어 설명되고나서(Shepp and Lloyd 1966, Wilf 1990),

$F(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(x,n)=\left\{\begin{array}{cc}1& ifx\ge 1\\ \underset{0}{\overset{x}{\int }}F\left(\frac{t}{1-t}\right)\frac{dt}{t}& if0\le x<1\end{array}\right\}$에서

딕맨 상수

$\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x⟩$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨\frac{\ln P}{\ln n}⟩$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\frac{dF}{dx}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}F\left(\frac{1}{1-t}\right)dt$

$=0.62432999...$는 골롬 상수$\lambda$가 $f(x)=1(1\le x\le 2),\frac{df}{dx}=-\frac{f(x-1)}{x-1}$에서,

$\lambda =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x^2}dx,f(x)=1(x>2)$

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}exp(-x-\left(\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-y}}{y}dy\right))$

$\lambda =\underset{0}{\overset{1}{\int }}exp\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dy}{\ln y}\right)dx$

$\lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots (OEISA084945)$

로 쉐프 와 로이드(Shepp and Lloyd , 1966)가 유도됨을 보였다.

이것은 구간 $x\in (0,1)$에서,

$\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨\frac{\ln P}{\ln n}⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\frac{dF}{dx}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}F\left(\frac{1}{1-t}\right)dt=\lambda =\underset{0}{\overset{1}{\int }}exp\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dy}{\ln y}\right)dx$이다.

확률 이론에서, $\lambda n$은 균일 분포에서 가장 긴주기의 예상 크기 $n$세트의 랜덤순열이다.

수 이론에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 소수 인자의 평균 크기와 관련되어 나타난다.

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{n}$

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=2}^n\frac{\log (P_1(k))}{\log (k)}$

여기서 $P_1(k)$는 $k$의 가장 큰 소수 인자이다. 따라서 $k$가 $d$자릿수 인 경우, $\lambda d$는 $k$의 최대 소수 자릿수의 평균 자릿수이다.

커누스의 $\beta$ 와 $B$에 대한 추측

커누스(Knuth 1981)의 임의의 상수 $\beta$ 와 $B$에 대한 추측

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{\beta }(⟨M(x)⟩-\gamma n-\frac{1}{2}\gamma )=B$

이 있었고, 고든(Gourdon 1986)이 아래과 같이 증명하였다.

$j=e^{\frac{2\pi i}{3}}$에서,

$⟨M(\alpha )⟩=\lambda (n+\frac{1}{2})-\frac{e^{\gamma }}{24n}+\frac{\frac{1}{48}{e}^{\gamma }-\frac{1}{8}(-1{)}^n}{n^2}+\frac{\frac{17}{3840}{e}^{\gamma }+\frac{1}{8}(-1{)}^n+\frac{1}{6}{j}^{1+2n}+\frac{1}{6}{j}^{2+n}}{n^3}$

$E(M(\alpha ))=\lambda n+\frac{\lambda }{2}-\frac{e^{\gamma }}{24}\frac{1}{n}+(\frac{e^{\gamma }}{48}-\frac{(-1{)}^n}{8})\frac{1}{n^2}+(\frac{17e^{\gamma }}{3840}+\frac{(-1{)}^n}{8}+\frac{\frac{e^{2(2n+1)\pi i}}{3}}{6}+\frac{\frac{e^{2(n+2)\pi i}}{3}}{6})\frac{1}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$

$M(\alpha )=\underset{j}{max}\{j:{\alpha }_j>0\}$

$\gamma$오일러-마스케로니 상수

관련 상수 및 함수

• 지수 적분

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t-E_1(t)}dt$

$E_1(t)$ 지수 적분 함수

• 딕맨 함수

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{t+2}dt$

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{(t+1{)}^2}dt$

$\rho (t)$ 딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)

• 조화 수열

$⟨\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_j⟩=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$

$=\ln n+\gamma +O\left(\frac{1}{n}\right)$

$=H_n$

$H_n$는 조화수 $,bigO$ 점근 표기법

같이 보기

• 수학 상수
• 구간
• 푸아송 분포
• 완전순열

참고

• 틀:매스월드
• "Sloane's A084945". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation(oeis.org)