부정 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 부정 방정식(不定方程式)은 해의 개수가 무한히 많은 방정식으로, 예를 들어 $y=2x$는 부정 방정식이다. 디오판토스 방정식은 해가 정수인 경우에 대한 부정 방정식이다.

그 외에도, 일차 방정식 $ax+b=0$에서 상수 $a$가 0이고 상수 $b$가 0일 때 $0\times x=0$의 꼴로 정리된다. 이때, 임의의 실수 $R$에 대해 $0\times R=0$이므로 $x$는 '모든 실수'이다. 이를 부정이라고 한다.

해법

연립방정식의 기준으로 보면, 부정 방정식(indeterminate equation)은 (미지수의 문자항 개수) > (방정식의 개수)이다.

$x^2=0$

$x^2=0\iff x=0(\because x=realnumberℝ,x^2=0ornaturalnumber\mathbb{N})$

${x_1}^2+{x_2}^2=0\iff x_1=0,x_2=0$

${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{n-1}}^2+{x_n}^2=0\iff x_1=0,x_2=0+\cdots +x_{n-1}=0,x_n=0$, 이므로

$(x_1+1{)}^2+(x_2+2{)}^2=0$일 때,

$(x_1+1)=0,(x_2+2)=0$,

$x_1=-1,x_2=-2$이다.

이것은 ${x_1}^2+2x_1+1+{x_2}^2+4x_2+4=0$에 대한 완전제곱식(full square equation)의 해법이다.

또한, 판별식(D,discriminant)에 의한 해법은,

$x_1$에 대해 2차방정식을 가정하면, ${x_1}^2+2x_1+({x_2}^2+4x_2+5)=0$이고,

$D=b^2-4ac$이므로,

$(-2{)}^2-4({x_2}^2+4x_2+5)=-(x_2+2{)}^2$이므로

$(x_2+2)=0,x_2=-2$이고,

대입(substitution)하면,

${x_1}^2+2x_1+1+4-8+4={x_1}^2+2x_1+1=(x_1+1{)}^2$

$(x_1+1{)}^2=0,x_1=-1$이다.

같이 보기

• 부정형
• 선형대수학