방정식 xy = yx

틀:수학의 그래프. 선과 곡선은 ( e, e )에서 교점을 갖는다.

일반적으로 지수는 교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 방정식 $x^y=y^x$은 $x=2,y=4$와 같은 근을 가진다.

역사

이 방정식은 다니엘 베르누이가 골트바흐에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다. 그 편지에 따르면 $x\ne y$인 경우 유리수 범위에서 $(\frac{27}{8},\frac{9}{4})$, $(\frac{9}{4},\frac{27}{8})$를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는 $(2,4)$와 $(4,2)$뿐이라고 한다. 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일)에는 $y=vx$로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 오일러도 비슷한 풀이법을 발견했다.

J. van Hengel은 $r,n$이 모두 양의 정수이면서 $r\ge 3$이면 $r^{r+n}>(r+n{)}^r$이므로 자연수 해를 찾는다면 $x=1$, $x=2$를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다.

이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데, 1960년에 이 방정식은 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회의 질문 중 하나였으며 Alvin Hausner는 결과를 대수적 수체로 확장했다.

양수 해

주요 출처:

양의 실수 범위에서 자명근 집합은 $x=y$이다. 비자명근은 람베르트 W 함수를 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을 $a{e}^b=c$ 꼴로 변형하고 $a$와 $b$를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 W 함수의 정의를 적용하여 $a^{\prime }{e}^{a^{\prime }}=c^{\prime }\Rightarrow a^{\prime }=W(c^{\prime })$와 같이 쓰는 것이다.

$\begin{array}{ccc}{y}^x& =x^y=\exp (y\ln x)& \\ y^x\exp (-y\ln x)& =1& (\exp (-y\ln x)\text{을 곱함})\\ y\exp (-y\frac{\ln x}{x})& =1& \left(\frac{1}{x}\text{ 제곱}\right)\\ -y\frac{\ln x}{x}\exp (-y\frac{\ln x}{x})& =\frac{-\ln x}{x}& \left(\frac{-\ln x}{x}\text{을}\text{ 곱함}\right)\end{array}$

$\Rightarrow -y\frac{\ln x}{x}=W\left(\frac{-\ln x}{x}\right)$

$\Rightarrow y=\frac{-x}{\ln x}\cdot W\left(\frac{-\ln x}{x}\right)=\exp (-W\left(\frac{-\ln x}{x}\right))$

마지막 줄에서 람베르트 W 함수의 성질 $\frac{W(x)}{x}=\exp (-W(x))$을 사용했다.

여기서 이 해를 람베르트 W 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면

$\begin{array}{cccc}{W}_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)& =-\ln x& (& 0<x\le e)\\ W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)& =-\ln x& (& x\ge e)\end{array}$

• $0<x\le 1$ :

$\Rightarrow \frac{-\ln x}{x}\ge 0$

$\begin{array}{cc}\Rightarrow y& =\exp (-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right))\\ & =\exp (-(-\ln x))\\ & =x\end{array}$

• $1<x<e$ :

$\Rightarrow \frac{-1}{e}<\frac{-\ln x}{x}<0$

$\Rightarrow y=\{\begin{array}{c}\exp (-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right))=x\\ \exp (-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right))\end{array}$

• $x=e$ :

$\Rightarrow \frac{-\ln x}{x}=\frac{-1}{e}$

$\Rightarrow y=\{\begin{array}{c}\exp (-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right))=x\\ \exp (-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right))=x\end{array}$

• $x>e$ :

$\Rightarrow \frac{-1}{e}<\frac{-\ln x}{x}<0$

$\Rightarrow y=\{\begin{array}{c}\exp (-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right))\\ \exp (-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right))=x\end{array}$

따라서 비자명근은 다음과 같다.

$y=\{\begin{array}{cc}\exp (-W_0\left(\frac{-\ln (x)}{x}\right))& (x>e)\\ \exp (-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right))& (1<x<e)\end{array}$

매개변수 형태

비자명근은 $y=vx$로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을 $\frac{1}{x}$ 제곱하고 $x$로 나누면, 다음을 얻는다.

$(vx{)}^x=x^{vx}=(x^v{)}^x.$

$v=x^{v-1}.$

따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}x& =v^{1/(v-1)},\\ y& =v^{v/(v-1)}.\end{array}$

따라서 1이 아닌 양수

$v$

에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.

이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. $y=x$인 순서쌍 $(x,y)$에 대하여 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v^2\left(\frac{v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}\right)$. (단, $v$는 1이 양수)

다른 실근

$x$, $y$ 중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어, $x=\frac{1}{\sqrt[3]{-2}}$, $y=\frac{-2}{\sqrt[3]{-2}}$ (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게 $x^x$가 실수일 때 자명근 $y=x$ ($x<0$)도 존재한다. (예를 들어 $x=y=-1$)

유사한 그래프

방정식 틀:수학

방정식 $\sqrt[x]{y}=\sqrt[y]{x}$의 그래프는 $1/e$에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다.

곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다.

$y=\{\begin{array}{cc}{e}^{W_0(\ln (x^x))}& (0<x<1/e)\\ e^{W_{-1}(\ln (x^x))}& (1/e<x<1)\end{array}$

이 방정식은 $y^y=x^x$와 동치인데, 양변을 $xy$제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식 $\sqrt[y]{y}=\sqrt[x]{x}$ 는 방정식 $x^y=y^x$와 동치이다.

방정식 틀:수학

방정식 ${\log }_x(y)={\log }_y(x)$의 그래프는 (1, 1)에서 서로 만나는 곡선 $y=\frac{1}{x}$과 $y=x$로 이루어져 있다.

외부 링크

• 틀:웹 인용
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• OEIS sequence A073084 (Decimal expansion of −x, where x is the negative solution to the equation 2^x = x^2)