방데르몽드 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 방데르몽드 행렬(-行列, 틀:Llang)은 각 행이 초항이 1인 등비수열로 구성된 행렬이다. 프랑스의 수학자 알렉상드르테오필 방데르몽드의 이름에서 따왔다. 다항식 보간법, 최소 자승 근사법 등에서 나타난다.

방데르몽드 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \dots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right]$

간단히 표현하면 모든 $i$와 $j$에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$V_{i,j}={\alpha }_i^{j-1}$

일부에서는 이 행렬의 전치행렬을 방데르몽드 행렬이라고 부르기도 한다.

$n\times n$ 방데르몽드 행렬의 행렬식은 다음과 같이 간단히 정리할 수 있다.

$\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i).$

이 행렬식을 방데르몽드 행렬식 또는 방데르몽드 다항식(틀:Llang)이라고 한다.

${\alpha }_i$가 모두 단위근으로 나타나는 방데르몽드 행렬은 이산 푸리에 변환에서 다항식 보간을 빠르게 수행할 때 사용한다.

같이 보기

• 라그랑주 다항식
• 론스키 행렬식