그린 정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 그린 정리(틀:Llang)는 평면 영역 위의 이중 적분과, 그 영역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에 대한 정리이다. 스토크스 정리의 특수한 경우다.

정의

연속 미분 가능 함수 $(P,Q):D\to {ℝ}^2$의 정의역 $D\subseteq {ℝ}^2$가 어떤 유계 영역의 폐포라고 하자. 또한, 경계선 $\partial D$가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡선들로 이루어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립하며, 이를 그린 정리라고 한다.

${\oint }_{\partial D}Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

만약 $D$가 단일 연결 공간이라면, $\partial D$는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약 $D$가 단일 연결 공간이 아니라면, $\partial D$는 여러 개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선들은 시계 방향이다.

그린 정리는 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계에 대한 정리인 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다.

예시

평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.

$𝐅(x,y)=(x-y)𝐢+x𝐣$

적분영역 $D$는 원점을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

$𝐫(t)=(\cos t)𝐢+(\sin t)𝐣$

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

우변

벡터함수의 편미분들을 계산한다.

$\frac{\partial F_1}{\partial y}=-1,\frac{\partial F_2}{\partial x}=1$

$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})dA=\underset{D}{\iint }(1-(-1))dxdy=2\underset{D}{\iint }dxdy=2\pi$

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

좌변

원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

$F_1=\cos t-\sin t,F_2=\cos t$

선적분에 필요한 연쇄법칙(Chain rule)을 계산한다.

$dx=d(\cos t)=-\sin tdt,dy=d(\sin t)=\cos tdt$

반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

$\underset{C}{\int }{F}_{1}dx+F_{2}dy=\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}(\cos t-\sin t)(-\sin tdt)+(\cos t)(\cos tdt)=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(-\sin t\cos t+1)dt=2\pi$

좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

같이 보기

• 그린의 항등식

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:매스월드
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• 틀:플래닛매스
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• 틀:Proofwiki