받침 초평면

유클리드 기하학에서 받침 초평면(-超平面, 틀:Llang)은 어떤 점들의 집합을 접하며, 집합 전체가 초평면의 어느 한 쪽에 속하게 하는 초평면이다. 접선의 일반화이다.

정의

유한 차원 유클리드 공간에서, 여차원이 1인 초평면은 항상 두 개의 반공간으로 공간을 나눈다. 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 속의 집합 $S \subset ℝ^{n}$ 의 받침 초평면은 다음 두 조건을 만족시키는 $n - 1$ 차원 초평면

P = {𝐱 \in ℝ^{n} : 𝐱 \cdot 𝐚 = c} (𝐚 \in ℝ^{n} ∖ {𝟎}, c \in ℝ)

S는 초평면에 의해 결정되는 두 개의 닫힌 반공간 중 하나에 완전히 포함된다. 즉, $𝐬 \cdot 𝐚 \geq c \forall 𝐬 \in S$ 이거나 $𝐬 \cdot 𝐚 \leq c \forall 𝐬 \in S$ 이다.
S는 초평면과 적어도 하나의 교점을 갖는다. 즉, $S \cap P \neq \emptyset$ 이다.

여기서 닫힌 반공간은 초평면에 의해 분리된 두 반공간의 폐포로, 초평면을 포함한다.

받침 초평면이 존재할 충분조건은 다음의 받침 초평면 정리(-超平面定理, 틀:Llang)로 주어진다.

일반적으로 이 받침 초평면은 오른쪽 그림에서처럼 유일하지 않다. 다만 특정한 매끄러운 다양체라는 조건을 주면 유일하게 잡을 수 있다.