민코프스키 물음표 함수

수학에서 민코프스키 물음표 함수(틀:Llang)는 여러 프랙탈 성질을 보이는 연속 함수이다.

역사

헤르만 민코프스키가 1904년 정의하였다.

어떤 실수 $x$ 가 다음과 같은 연분수를 가진다고 하자.

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \dots}} = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]

이 수열은 $x$ 가 유리수일 경우 유한하고, 무리수일 경우 무한하다.

그렇다면 민코프스키 물음표 함수 $? (x)$ 는 다음과 같다.

? (x) = a_{0} + 2 \sum_{n = 1, 2, \dots} \frac{(- 1)^{n + 1}}{2^{a_{1} + \dots + a_{n}}}

만약 $x$ 가 유리수라면, 즉 $x$ 의 연분수 표현이 유한하다면 위의 합은 유한급수이다. 반면 $x$ 가 무리수라면 위 급수는 무한급수이지만 항상 수렴한다.

민코프스키 물음표 함수는 여러 독특한 성질을 보이며, 특히 그 그래프는 프랙탈 모양을 가진다.