미분소

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미분소(微分素)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, $\mathrm{d}y$와 같이 나타낸다. 보통 함수의 변화값을 나타내는 기호로는 $\mathrm{\Delta }x$, $\delta x$ 등이 있지만, $\mathrm{d}x$는 무한히 작은 값을 의미한다는 점에서 이들과 구별된다.

예를 들어, $y$가 $x$에 대한 함수일 때, $x$의 변화량 $\mathrm{d}x$와 $y$의 변화량 $\mathrm{d}y$는 도함수에 의하여 관계 맺어진다.

$\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$

여기에서 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$는 $y$를 $x$로 미분한 도함수이다. 이는 $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$가 $\mathrm{\Delta }x$가 무한히 작아지면서 도함수가 된다는 생각을 내포한다.

미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준해석학, 멱영원 등의 방법으로 정의할 수 있다.

곡선의 길이와 미분소

유클리드 공간 ${ℝ}^3$에 존재하는 길 $𝐜\left(t\right)=x\left(t\right)𝐢+y\left(t\right)𝐣+z\left(t\right)𝐤$를 따라 운동하는 물체의 무한소 변위는 다음과 같다.

$d𝐬=dx𝐢+dy𝐣+dz𝐤=(\frac{dx}{dt}𝐢+\frac{dy}{dt}𝐣+\frac{dz}{dt}𝐤)dt$

그리고 그 길이

$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}dt$

는 곡선의 길이의 미분소라고한다.

이 개념을 이용하면 곡선의 길이를 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있다.

$\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}ds$

참고 문헌

• 틀:서적 인용