모멘트 생성 함수

틀:위키데이터 속성 추적 확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X의 적률생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.

$M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)$, $t\in ℝ$

t = 0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 확률분포의 적률는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

$E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)={\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}|}_{t=0}{M}_X(t).$

계산

X의 확률밀도함수가 $f(x)$이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)\mathrm{d}x$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2{x}^2}{2!}+\cdots )f(x)\mathrm{d}x$

$=1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\cdots ,$

이때 $m_i$는 i번째 적률이며 $M_X(-t)$는 $f(x)$의 양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 적률생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}dF(x)$

n개의 확률변수 $X_1,X_2,...X_n$가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 $a_i$에 대해서 $S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i$의 확률분포는 $X_i$ 각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_{1}t)M_{X_2}(a_{2}t)\dots M_{X_n}(a_{n}t).$

예제

다음은 자주 사용되는 확률분포의 적률생성함수와 특성함수의 목록이다.

분포	모멘트생성함수	특성함수
이항 분포 B(n, p)	$(1-p+p{e}^t{)}^n$	$(1-p+p{e}^{it}{)}^n$
푸아송 분포 Pois(λ)	$e^{\lambda (e^t-1)}$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
연속균등분포 U(a, b)	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
정규분포 N(μ, σ2)	$e^{t\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$	$e^{it\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$
카이제곱 분포 χ2k	$(1-2t{)}^{-k/2}$	$(1-2it{)}^{-k/2}$
감마 분포 Γ(k, θ)	$(1-t\theta {)}^{-k}$	$(1-it\theta {)}^{-k}$
지수분포 Exp(λ)	$(1-t{\lambda }^{-1}{)}^{-1}$	$(1-it{\lambda }^{-1}{)}^{-1}$
다변량 정규분포 N(μ, Σ)	$e^{t^{\mathrm{T}}\mu +\frac{1}{2}{t}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }t}$	$e^{i{t}^{\mathrm{T}}\mu -\frac{1}{2}{t}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }t}$
퇴화분포 δa	$e^{ta}$	$e^{ita}$
라플라스 분포 L(μ, b)	$\frac{e^{t\mu }}{1-b^2{t}^2}$	$\frac{e^{it\mu }}{1+b^2{t}^2}$
코시 분포 Cauchy(μ, θ)	정의되지 않음	$e^{it\mu -\theta |t|}$
음이항 분포 NB(r, p)	$\frac{(p{e}^t{)}^r}{(1-(1-p)e^t{)}^r}$	$\frac{p^r}{(1-(1-p)e^{it}{)}^r}$

같이 보기

• 확률이론에서 적률생성함수와 같이 변환과 연관된 함수에는 특성함수와 확률생성함수 등이 있다.

• 누율생성함수(cumulant-generating function)은 적률생성함수에 로그를 취한 함수이다.