면적분

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 면적분(面積分, 틀:Llang)은 3차원 유클리드 공간에 매장된 곡면 위에 정의된 함수에 대한 적분이다. 평면 위에 정의된 함수의 이중 적분을 일반화한 개념이다.

정의

스칼라 장 $f : ℝ^{3} \to ℝ$ 의 곡면 $\vec{φ} : D \to ℝ^{3}$ ( $D \subseteq ℝ^{2}$ ) 위의 면적분은 다음과 같다.

\int_{\vec{φ} (D)} f d S = \int_{D} f (\vec{φ} (s, t)) ‖ {\vec{φ}}_{u} \times {\vec{φ}}_{v} ‖ d s d t = \int_{D} f (\vec{φ} (s, t)) \sqrt{E F - G^{2}} d s d t

여기서 $E F - G^{2}$ 는 제1 기본 형식의 행렬식이다.

특히, 곡면 $\vec{φ} (D)$ 의 면적은 다음과 같다.

\int_{\vec{φ} (D)} d S = \int_{D} ‖ {\vec{φ}}_{u} \times {\vec{φ}}_{v} ‖ d s d t = \int_{D} \sqrt{E F - G^{2}} d s d t

벡터 장 $\vec{F} : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ 의, 곡면 $\vec{φ} : D \to ℝ^{3}$ ( $D \subseteq ℝ^{2}$ ) 위의 면적분은 다음과 같다.

\iint_{\vec{φ} (D)} \vec{F} \cdot d \vec{S} = \iint_{\vec{φ} (D)} \vec{F} \cdot \frac{{\vec{φ}}_{u} \times {\vec{φ}}_{v}}{‖ {\vec{φ}}_{u} \times {\vec{φ}}_{v} ‖} d S = \iint_{D} \vec{F} (\vec{φ} (s, t)) \cdot ({\vec{φ}}_{u} \times {\vec{φ}}_{v}) d s d t