막 스캔

틀:위키데이터 속성 추적 초끈 이론에서 막 스캔(幕scan, 틀:Llang)은 각 차원에서 존재할 수 있는 BPS 막들의 분류이다.

정의

$p$차원 막이 $D$차원 시공간 속에서 움직인다고 하자. 이는 매장

$\xi :{ℝ}^{p+1}\to {ℝ}^{D-1,1}$

으로 주어진다. 편의상 정적 게이지(틀:Llang)를 사용하여, 이를

$\xi =({\xi }^{\perp },\mathrm{id})$

${\xi }^{\perp }:{ℝ}^{p+1}\to {ℝ}^{D-p-1}$

로 나타낼 수 있다. 즉, $p$차원 막은 $D-p-1$개의 보손 자유도를 갖는다.

이제, 세계 부피 초대칭을 위하여, 페르미온을 생각하자. 페르미온은 세계 부피 로런츠 군 $\mathrm{SO}(p,1)$의 스피너 표현을 따른다. 이 차원에서의 최소 비(非)손지기 스피너(즉, 디랙 스피너 또는 마요라나 스피너)의 실수 성분의 수가

$M=\{\begin{array}{cc}{2}^{\lfloor (p+1)/2\lfloor }& (p-1)mod8\in \{0,\pm 1,\pm 2\}\\ 2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor +1}& (p-1)mod8\in ̸\{0,\pm 1,\pm 2\}\end{array}$

이라고 하고, 초대칭 수가 $𝒩=2^n$이라고 하자. 그렇다면, 그 질량 껍질 위 자유도의 수는

$\frac{1}{4}M{2}^n$

이다. 여기서 인자 ¼는 다음과 같다.

• 게이지 대칭인 κ-대칭에 의하여 성분이 ½로 줄어든다. (κ-대칭의 존재는 시공간에서 ½-BPS 조건에 해당한다.)
• 질량 껍질 조건을 가하면 성분이 ½로 줄어든다.

즉, 초대칭 막이 존재하려면 다음이 성립해야 한다.

$D-p-1=\frac{1}{2}M{2}^n$

마지막으로, $D$차원 초중력의 존재에 의하여,

$D\le 11$

이다.

이에 따라, 가능한 초대칭 막은 다음 12개이다.틀:Rp

D	p=1	p=2	p=3	p=4	p=5
11		●
10	●				●
9				●
8			●
7		●
6	●		●
5		●
4	●	●
3	●

특히, 만약 $(D,p)$가 가능하다면 $(D-1,p-1)$ 역시 가능함을 알 수 있다. 이는 물리학적으로 $D$차원 시공간을 한 차원 축소화하고, $p$-막을 축소화한 차원에 감는 것에 해당한다. 이렇게 하면, 막들은 다음과 같은 네 개의 족으로 분류된다.

• $D-p-1=8$. $(D,p)=(11,2)$일 때 이는 M2-막에 해당하며, $(D,p)=(10,1)$일 때 이는 초끈 이론의 끈에 해당한다.
• $D-p-1=4$. $(D,p)=(6,1)$일 때 이는 꼬마 끈 이론에 해당한다.
• $D-p-1=2$
• $D-p-1=1$

이 분류는 세계 부피에 스칼라장 이외의 보손 장이 존재하지 않는 것을 전제로 한다. 만약 기타 보손 장이 존재한다면 추가 종류의 막들이 가능하다. 예를 들어, D-막은 일반적으로 세계 부피에 미분 형식 장들을 갖는다.

초대칭 대수의 중심 전하

막 스캔은 사실 각 차원의 초대칭 대수의 중심 전하의 존재를 나타낸다. 구체적으로, 각 차원에서 감마 행렬들을 조합하여, 다음과 같은 반대칭 연산자들을 만들 수 있다.틀:Rp

차원	감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수 (mod 4)
2	1
3	1, 2
4	1, 2
5	2, 3
6	3
7	0, 3
8	0, 1
9	0, 1
10	1
11	1,2

여기서, “감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수”가 $p$라면, 임의의 두 (최소 표현) 스피너 $\chi ,\psi$에 대하여 다음이 성립한다.

$\overline{\psi }{\gamma }_{{\mu }_1\dots {\mu }_p}\chi =-\overline{\chi }{\gamma }_{{\mu }_1\dots {\mu }_p}\psi$

$\gamma {\mu }_1\dots {\mu }_p={\gamma }_{[{\mu }_1}{\gamma }_{{\mu }_2}\cdots {\gamma }_{{\mu }_p]}$

위 표의 성분은 법 4에 대한 것이다. 즉, $p$가 가능하다면 $p+4$, $p+8$, … 역시 가능하다.

예를 들어, $d=4$의 마요라나 스피너 $\psi$에 대하여, $p=2$가 수록돼 있으므로,

$\overline{\psi }{\gamma }_{\mu \nu }\chi =-\overline{\chi }{\gamma }_{\mu \nu }\psi$

$\overline{\psi }{\gamma }_{{\mu }_1\dots {\mu }_6}\chi =-\overline{\chi }{\gamma }_{{\mu }_1\dots {\mu }_6}\psi$

이다. 마찬가지로, $d=7$일 때, $p=0$이 수록돼 있으므로,

$\overline{\psi }\chi =-\overline{\chi }\psi$

이다.

이 표로부터, 각 차원에 존재하는 초대칭 대수의 중심 전하들을 읽을 수 있으며, 이는 각 차원에 존재하는 막에 대응한다. 예를 들어, $d=11$일 때, $𝒩=1$ 초대칭 대수는 다음과 같은 두 중심 전하를 갖는다.틀:Rp

$\{Q_{\alpha },{\overline{Q}}_{\beta }\}={\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }{P}_{\mu }+\frac{1}{2}{\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu \nu }{Z}_{\mu \nu }+\frac{1}{5!}{\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu \nu \rho \sigma \tau }{Z}_{\mu \nu \rho \sigma \tau }$

이는 위 표에서 $p=1,2mod4$의 존재에 해당한다. 따라서, 11차원 초중력(M이론)에는 M2-막과 M5-막이 존재할 수 있다.

역사

1987년에 스칼라장 이외의 텐서장이 없다는 가정 아래 최초로 도입되었다. 이후 텐서장 등을 포함한 막들이 역시 마찬가지로 분류되었다.

“막 스캔”(틀:Llang)이라는 이름은 뇌 스캔(틀:Llang)에 대한 언어 유희이다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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