룽게-쿠타 방법의 목록

틀:위키데이터 속성 추적 룽게-쿠타 방법은 다음 상미분방정식의 수치해법이다

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.

y_{n + 1} = y_{n} + h \sum_{i = 1}^{s} b_{i} k_{i}

k_{1} = f (t_{n}, y_{n}),

k_{2} = f (t_{n} + c_{2} h, y_{n} + h (a_{21} k_{1})),

k_{3} = f (t_{n} + c_{3} h, y_{n} + h (a_{31} k_{1} + a_{32} k_{2})),

⋮

k_{i} = f (t_{n} + c_{i} h, y_{n} + h \sum_{j = 1}^{i - 1} a_{i j} k_{j}),

이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:

\begin{matrix} c_{1} & a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 s} \\ c_{2} & a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{s} & a_{s 1} & a_{s 2} & \dots & a_{s s} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{s} \end{matrix}

명시적 방법

명시적 방법은 행렬 $[a_{i j}]$ 이 하삼각행렬인 방법이다.

오일러

오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.

\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 \end{matrix}

명시적 중간점 방법

(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}

호인의 방법

호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix}

랄스톤 방법

랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 / 3 & 2 / 3 & 0 \\ 1 / 4 & 3 / 4 \end{matrix}

일반적인 이차 방법

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ x & x & 0 \\ 1 - \frac{1}{2 x} & \frac{1}{2 x} \end{matrix}

쿠타 삼차 방법

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \end{matrix}

고전적 사차 방법

"원조" 룽게-쿠타 방법이다.

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 / 6 & 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 6 \end{matrix}

3/8-규칙 사차 방법

이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 3 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 / 3 & - 1 / 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 / 8 & 3 / 8 & 3 / 8 & 1 / 8 \end{matrix}

내장형 방법

내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다

y_{n + 1}^{*} = y_{n} + h \sum_{i = 1}^{s} b_{i}^{*} k_{i},

이때 $k_{i}$ 는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다

e_{n + 1} = y_{n + 1} - y_{n + 1}^{*} = h \sum_{i = 1}^{s} (b_{i} - b_{i}^{*}) k_{i},

이 오차는 $O (h^{p})$ . 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 $b_{i}^{*}$

\begin{matrix} c_{1} & a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 s} \\ c_{2} & a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{s} & a_{s 1} & a_{s 2} & \dots & a_{s s} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{s} \\ b_{1}^{*} & b_{2}^{*} & \dots & b_{s}^{*} \end{matrix}

호인-오일러

가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

\begin{matrix} 0 \\ 1 & 1 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}

추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.

펠베르크 RK1(2)

펠베르크 방법^[1]은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

0
1/2	1/2
1	1/256	255/256
1/256	255/256	0
1/512	255/256	1/512

b 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

보가키–샴폐인

보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

0
1/2	1/2
3/4	0	3/4
1	2/9	1/3	4/9
2/9	1/3	4/9	0
7/24	1/4	1/3	1/8

b 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

펠베르크

룽게-쿠타-펠베르크 방법은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

0
1/4	1/4
3/8	3/32	9/32
12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
1/2	-8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

캐쉬-카프

캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다:

0
1/5	1/5
3/10	3/40	9/40
3/5	3/10	−9/10	6/5
1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

도르몬드–프린스

도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다

0
1/5	1/5
3/10	3/40	9/40
4/5	44/45	−56/15	32/9
8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

암시적 방법

역 오일러

역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.

\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 \end{matrix}

암시적 중간점

암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.

\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 \end{matrix}

가우스-르장드르 방법

이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

\begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{matrix}

6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

\begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} & \frac{2}{9} - \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\ \frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} \\ \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18} \\ - \frac{5}{6} & \frac{8}{3} & - \frac{5}{6} \end{matrix}

로바토 방법

로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2s-2차 방법이며, 모두 c₁ = 0이고 c_s = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.

로바토 IIIA 방법

로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다:

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}

4차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 5 / 24 & 1 / 3 & - 1 / 24 \\ 1 & 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \\ - \frac{1}{2} & 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}

이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

로바토 IIIB 방법

로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 1 / 2 & 0 \\ 1 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}

4차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 1 / 6 & - 1 / 6 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 6 & 1 / 3 & 0 \\ 1 & 1 / 6 & 5 / 6 & 0 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \\ - \frac{1}{2} & 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}

로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

로바토 IIIC 방법

로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 1 / 2 & - 1 / 2 \\ 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}

4차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 1 / 6 & - 1 / 3 & 1 / 6 \\ 1 / 2 & 1 / 6 & 5 / 12 & - 1 / 12 \\ 1 & 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \\ - \frac{1}{2} & 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}

이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.

로바토 IIIC* 방법

로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다.^[2] 아차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix}

4차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \end{matrix}

이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. $s = 2$ .

일반화된 로바토 방법

다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수 $(α_{A}, α_{B}, α_{C})$

a_{i, j} (α_{A}, α_{B}, α_{C}) = α_{A} a_{i, j}^{A} + α_{B} a_{i, j}^{B} + α_{C} a_{i, j}^{C} + α_{C *} a_{i, j}^{C *}

,

여기서,

α_{C *} = 1 - α_{A} - α_{B} - α_{C}

.

예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다

\begin{matrix} 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 & - 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix}

그리고

\begin{matrix} 0 & 1 / 6 & 0 & - 1 / 6 \\ 1 / 2 & 1 / 12 & 5 / 12 & 0 \\ 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 6 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \end{matrix}

이 방법은 $α_{A} = 2$ , $α_{B} = 2$ , $α_{C} = - 1$ , 그리고 $α_{C *} = - 2$ . 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.

라다우 방법

라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 A는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 s 단계에 2s-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다. 일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다

라다우 IA 방법

삼차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & 1 / 4 & - 1 / 4 \\ 2 / 3 & 1 / 4 & 5 / 12 \\ 1 / 4 & 3 / 4 \end{matrix}

5차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 0 & \frac{1}{9} & \frac{- 1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{- 1 + \sqrt{6}}{18} \\ \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7 \sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43 \sqrt{6}}{360} \\ \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43 \sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7 \sqrt{6}}{360} \\ \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} \end{matrix}

라다우 IIA 방법

이 방법의 c_i는 다음의 근이다

P_{s} (2 x - 1) - P_{s - 1} (2 x - 1) = 0,

$P_{s}$ . 삼차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} 1 / 3 & 5 / 12 & - 1 / 12 \\ 1 & 3 / 4 & 1 / 4 \\ 3 / 4 & 1 / 4 \end{matrix}

5차 방법은 다음과 같다

\begin{matrix} \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{11}{45} - \frac{7 \sqrt{6}}{360} & \frac{37}{225} - \frac{169 \sqrt{6}}{1800} & - \frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\ \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{37}{225} + \frac{169 \sqrt{6}}{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7 \sqrt{6}}{360} & - \frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75} \\ 1 & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \\ \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \end{matrix}

같이 보기

룽게-쿠타-펠베르크 방법

각주

틀:각주

[1] 틀:저널 인용

[2] ttp://homepage.math.uiowa.edu/~ljay/publications.dir/Lobatto.pdf

[1]

[2]

룽게-쿠타 방법의 목록

목차

명시적 방법

오일러

명시적 중간점 방법

호인의 방법

랄스톤 방법

일반적인 이차 방법

쿠타 삼차 방법

고전적 사차 방법

3/8-규칙 사차 방법

내장형 방법

호인-오일러

펠베르크 RK1(2)

보가키–샴폐인

펠베르크

캐쉬-카프

도르몬드–프린스

암시적 방법

역 오일러

암시적 중간점

가우스-르장드르 방법

로바토 방법

로바토 IIIA 방법

로바토 IIIB 방법

로바토 IIIC 방법

로바토 IIIC* 방법

일반화된 로바토 방법

라다우 방법

라다우 IA 방법

라다우 IIA 방법

같이 보기

각주

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룽게-쿠타 방법의 목록

명시적 방법

오일러

명시적 중간점 방법

호인의 방법

랄스톤 방법

일반적인 이차 방법

쿠타 삼차 방법

고전적 사차 방법

3/8-규칙 사차 방법

내장형 방법

호인-오일러

펠베르크 RK1(2)

보가키–샴폐인

펠베르크

캐쉬-카프

도르몬드–프린스

암시적 방법

역 오일러

암시적 중간점

가우스-르장드르 방법

로바토 방법

로바토 IIIA 방법

로바토 IIIB 방법

로바토 IIIC 방법

로바토 IIIC* 방법

일반화된 로바토 방법

라다우 방법

라다우 IA 방법

라다우 IIA 방법

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