중간점 방법

중간점 방법을 이용하여 $y_n$이 실제 값 $y(t_n)$과 같게 되는 것을 나타낸다. 중간점 방법이 $y_{n+1}$을 계산하여 빨간 선이 중점에서의 접선(초록 선)과 거의 평행하도록 만든다.

응용수학의 분야인 수치 해석에서, 중간점 방법은 수치적으로 다음의 미분 방정식을 푸는 한 단계 크기의 방법이다.

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0$.

명시적인 중간점 방법은 다음의 식으로 주어진다.

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n)),(1e)$

암시적인 중간점 방법은 다음과 같다.

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n+\frac{h}{2},\frac{1}{2}(y_n+y_{n+1})),(1i)$

단계 $n=0,1,2,...$이고, $h$는 단계 크기라고 불리는 작은 양수이다. $t_n=t_0+nh$이고, $y_n$은 $y(t_n)$이다. 명시적 중간점 방법은 수정된 오일러 방법으로도 알려져 있으며, 암시적인 방법은 가장 간단한 배열 방법이고, 해밀턴 역학과, 사교 적분자에도 적용된다.

이 방법의 이름은 솔루션의 기울기를 위의 식에서 함수$f$가 $y(t)$의 알고 있는 값인 $t_n$과 우리가 찾아야 하는 $y(t)$의 값인 $t_{n+1}$의 중점인 $t=t_n+h/2$에서 계산하는 것에서 지어졌다.

중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는 $O(h^3)$이며,전체 오차는 $O(h^2)$로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로 $h\to 0$일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다.

이 방법은 룽게-쿠타 방법이라는 높은 차수의 방법의 예시 중 하나이다.

중간점 방법의 유도

그림은 식의 수치적분 $y^{\prime }=y,y(0)=1$을 나타낸 것이다. 파란색: 오일러 방법, 녹색:중간점 방법, 빨간색: 정확한 $y=e^t$의 솔루션이다. 단계 크기는 $h=1.0$이다.

같은 수치해석의 그림이나 단계크기는 $h=0.25$이다. 중간점 방법은 오일러 방법보다 더 빠르게 수럼한다는것을 볼 수 있다.

중간점 방법은 다음의 오일러 방법의 구체화이다.

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$

그리고 중간점 방법은 같은 방식으로 도출된다. 오일러 방법을 유도하는 핵심은 근사적으로 같은 것이다.

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))(2)$

이것은 기울기의 수식에서 얻은 것이다.

$y^{\prime }(t)\approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}(3)$

$y^{\prime }=f(t,y)$인 것을 기억하자.

중간점 방법의 경우, (3)이 더욱 정확하게 된다.

$y^{\prime }(t+\frac{h}{2})\approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$

(2)를 대신 할 때, 우리는 다음을 찾는다.

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t+\frac{h}{2},y(t+\frac{h}{2})).(4)$

$t+h/2$에서 $y$의 값을 모르는 경우에는 이 방법을 사용해서 $y(t+h)$를 구할 수 없다. 이 솔루션은 오일러 방법을 사용하여 $y(t+h/2)$을 구할 때처럼 테일러 급수를 사용한다:

$y(t+\frac{h}{2})\approx y(t)+\frac{h}{2}{y}^{\prime }(t)=y(t)+\frac{h}{2}f(t,y(t)),$

(4)에 적용할 때, 다음과 명시적 중간점 방법 (1e)를 얻을 수 있다.

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t+\frac{h}{2},y(t)+\frac{h}{2}f(t,y(t)))$

내재적 방법 (1i)은 $y(t)$에서 $y(t+h)$까지의 선분의 중간점으로 반 단계인 $t+h/2$에서의 값을 근사해서 얻을 수 있다.

$y(t+\frac{h}{2})\approx \frac{1}{2}(y(t)+y(t+h))$

따라서

$\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y^{\prime }(t+\frac{h}{2})\approx k=f(t+\frac{h}{2},\frac{1}{2}(y(t)+y(t+h)\left)\right)$

$y(t_n+h)$에 $y_n+hk$를 대입한 결과는 암시적 룽게-쿠타 방법이 된다.

$\begin{array}{cc}k& =f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k)\\ y_{n+1}& =y_n+hk\end{array}$

첫번째 부분에서 단계 크기 ${\displaystyle }$ 암시적 오일러 방법이 포함된다.

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n)),(1e)$

암시적인 방법의 시간대칭성 때문에 지역 오차의 짝수 차수 항이 지워지기 때문에 자동적으로 지역오차는 $O(h^3)$이다. 명시적 오일러 방법이 암시적 방법으로 대체되면 명시적인 중간점 방법에서 k의 결과를 재결정한다.

같이 보기

• 사각형 방법
• 호인의 방법
• 도약 적분과 베렛 적분

참조

• 틀:서적 인용