로그함수 적분표

틀:위키데이터 속성 추적 아래 목록은 로그 함수의 부정적분이다.

아래의 적분식들에서 x > 0이며, 적분상수는 생략하였다.

로그함수만 포함하는 함수의 적분

$\int {\log }_{a}xdx=x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}=\frac{x\ln x-x}{\ln a}$

$\int \ln (ax)dx=x\ln (ax)-x$

$\int \ln (ax+b)dx=\frac{(ax+b)\ln (ax+b)-(ax+b)}{a}$

$\int (\ln x{)}^{2}dx=x(\ln x{)}^2-2x\ln x+2x$

$\int (\ln x{)}^{n}dx=x\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}\frac{n!}{k!}(\ln x{)}^k$

$\int \frac{dx}{\ln x}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln x{)}^k}{k\cdot k!}$

$\int \frac{dx}{\ln x}=\mathrm{li}(x)$ ($\mathrm{li}(x)$는 로그 적분 함수)

$\int \frac{dx}{(\ln x{)}^n}=-\frac{x}{(n-1)(\ln x{)}^{n-1}}+\frac{1}{n-1}\int \frac{dx}{(\ln x{)}^{n-1}}\text{(}n\ne 1\text{)}$

$\int \ln f(x)dx=x\ln f(x)-\int x\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx\text{(}f\text{가 미분가능하고 }f(x)>0\text{일 때)}$

로그함수와 지수함수를 포함하는 함수의 적분

$\int x^m\ln xdx=x^{m+1}(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1{)}^2})\text{(}m\ne -1\text{)}$

$\int x^m(\ln x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}(\ln x{)}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^m(\ln x{)}^{n-1}dx\text{(}m\ne -1\text{)}$

$\int \frac{(\ln x{)}^{n}dx}{x}=\frac{(\ln x{)}^{n+1}}{n+1}\text{(}n\ne -1\text{)}$

$\int \frac{\ln xdx}{x^m}=-\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1{)}^2{x}^{m-1}}\text{(}m\ne 1\text{)}$

$\int \frac{(\ln x{)}^{n}dx}{x^m}=-\frac{(\ln x{)}^n}{(m-1)x^{m-1}}+\frac{n}{m-1}\int \frac{(\ln x{)}^{n-1}dx}{x^m}\text{(}m\ne 1\text{)}$

$\int \frac{x^{m}dx}{(\ln x{)}^n}=-\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x{)}^{n-1}}+\frac{m+1}{n-1}\int \frac{x^{m}dx}{(\ln x{)}^{n-1}}\text{(}n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln |\ln x|$

$\int \frac{dx}{x\ln x\ln \ln x}=\ln |\ln |\ln x||$

$\int \frac{dx}{x\ln \ln x}=\mathrm{li}(\ln x)$

$\int \frac{dx}{x^n\ln x}=\ln |\ln x|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(n-1{)}^k(\ln x{)}^k}{k\cdot k!}$

$\int \frac{dx}{x(\ln x{)}^n}=-\frac{1}{(n-1)(\ln x{)}^{n-1}}\text{(}n\ne 1\text{)}$

$\int \ln (x^2+a^2)dx=x\ln (x^2+a^2)-2x+2a{\tan }^{-1}\frac{x}{a}$

$\int \frac{x}{x^2+a^2}\ln (x^2+a^2)dx=\frac{1}{4}{\ln }^2(x^2+a^2)$

로그함수와 삼각함수를 포함하는 함수의 적분

$\int \sin (\ln x)dx=\frac{x}{2}(\sin (\ln x)-\cos (\ln x))$

$\int \cos (\ln x)dx=\frac{x}{2}(\sin (\ln x)+\cos (\ln x))$

로그함수와 지수함수를 포함하는 함수의 적분

$\int e^x(x\ln x-x-\frac{1}{x})dx=e^x(x\ln x-x-\ln x)$

$\int \frac{1}{e^x}(\frac{1}{x}-\ln x)dx=\frac{\ln x}{e^x}$

$\int e^x(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x(\ln x{)}^2})dx=\frac{e^x}{\ln x}$

연속 적분

로그함수를 n번 연속적으로 적분하는 경우,

$\int \ln xdx=x(\ln x-1)+C_0$

를 아래와 같이 일반화할 수 있다.

$\int \cdots \int \ln xdx\cdots dx=\frac{x^n}{n!}(\ln x-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k})+\sum _{k=0}^{n-1}{C}_k\frac{x^k}{k!}$

같이 보기

• 적분표

• 로그 함수

각주

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. A few integrals are listed on page 69.