레인-엠덴 방정식

$n$ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6인 경우의 각각의 레인-엠덴 방정식의 해.

레인-엠덴 방정식(Lane-Emden equation)은 천체물리학에서 구면대칭적으로 분포한 폴리트로프 유체가 자체 중력으로 침하할 때 그 중력 퍼텐셜에 대한 푸아송 방정식을 차원이 없는 형태로 변형한 것이다. 천체물리학자 조너선 호머 레인과 로버트 엠덴의 이름이 붙었다. 방정식은 다음과 같은데

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0$

여기서 $\xi$는 차원이 없는 반경이고 $\theta$는 $\rho ={\rho }_c{\theta }^n$ 관계로 밀도에 관계있는 값이다. 이때 ${\rho }_c$는 중심 밀도이다. 지수 $n$은 폴리트로프 상태 방정식

$P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}$

에서 나타나는 폴리트로프 지수이다. $P$와 $\rho$는 각각 압력과 밀도이고, $K$는 비례상수이다. 표준 경계 조건은 $\theta (0)=1$, ${\theta }^{\prime }(0)=0$이다. 압력, 밀도, 반지름의 추세를 설명하는 해는 지수 $n$의 폴리트로프(polytropes)라고 한다.