란다우 준위

틀:접이식 사이드바 양자역학에서 란다우 준위(Ландау準位, 틀:Llang)는 자기장 속에서 움직이는 대전 입자의 양자화된 궤도들이다. 레프 란다우의 이름을 땄다.

유도와 정의

z방향으로 균일한 자기장 $𝐁 = B \hat{𝐳}$ 가 주어진 xy 평면을 생각하자. 이 자기장에 대한 자기 퍼텐셜 $𝐀$ 는

𝐀 = x B \hat{𝐲}

으로 잡을 수 있다. xy 평면에 갇힌, 전하 $q$ 를 가진 입자를 생각하자. 이 입자의 해밀토니언은 다음과 같다.

H = \frac{1}{2 m} (𝐩 - q 𝐀)^{2} = \frac{1}{2 m} (p_{x}^{2} + (p_{y} - q x B)^{2})

이 해밀토니언은 y방향 운동량과 가환한다.

[H, p_{y}] = 0

따라서 $p_{y}$ 를 그 고윳값으로 대체할 수 있다. $p_{y}$ 의 고윳값을 고정시키면, 이 해밀토니언은 위치 에너지

V (x) = (p_{y} - q x B)^{2} / 2 m = \frac{1}{2 m} q^{2} B^{2} (x - p_{y} / q B)^{2}

를 가지는, 1차원 공간 위에 존재하는 입자다. 이 퍼텐셜은 포물선 꼴이므로, 이는 1차원 양자 조화 진동자이며, 그 각진동수 $ω$ 는

ω = q B / m

다. 따라서, 주어진 $p_{y}$ 에 대한 에너지 준위는 다음과 같다.

E_{n} = (\frac{1}{2} + n) ℏ q B / m c

이 준위들을 란다우 준위라고 한다.