라플라스 극한

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 라플라스 극한(틀:Llang)은 케플러 방정식(Kepler's equation)의 직렬 해 ${\epsilon }^n$가 수렴하는 이심률의 최대 값 $L$이다. 이것은 대략,

$L=0.66274341934918158097474209710925290....(OEISA033259)$

케플러의 방정식 $M=E-\epsilon sinE$는 편심 $\epsilon$이 있는 타원에서 움직이는 물체에 대한 평균 편차 $M$과 편심이 변형된 $E$를 관련 짓는다. 이 방정식은 기본 함수의 관점에서 E에 대해 풀 수 없지만 라그랑주의 반전 정리(Lagrange reversion theorem)는 해를 ${\epsilon }^n$의 멱급수로 나타낸다.

$E=M+\sin (M){\epsilon }^1+\frac{1}{2}\sin (2M){\epsilon }^2+(\frac{3}{8}\sin (3M)-\frac{1}{8}\sin (M)){\epsilon }^3+\cdots$

라플라스는 이 시리즈(급수)가 편심의 작은 값에 대해 수렴하지만 이심률이 특정 값을 초과할 때에는 갈라지는 것을 알았다. 라플라스 극한은 이값 $L$이다. 이는 멱급수의 수렴 반경 $r$이다.

• 라플라스 극한 상수 $L$

$E=M+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{L}^n$

$a_n=\frac{1}{2^{n-1}n!}\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-2k{)}^{n-1}sin[(n-2k)M]$

$r=\frac{L{e}^{\left(\sqrt{1+L^2}\right)}}{1+\sqrt{1+L^2}}=1\le 1,e=$극한값 e

$r=\frac{(0.66274....)e^{\left(\sqrt{1+(0.66274....{)}^2}\right)}}{1+\sqrt{1+(0.66274....{)}^2}}=0.9999999999....=1$

같이 보기

• 궤도 이심률
• 수학 상수
• 베셀 함수