디랙 장

틀:위키데이터 속성 추적 디랙 장(틀:Llang)은 양자장론에서 스핀 1/2 페르미 입자를 설명하는 스피너 장이다. 상대론적 양자역학에서 디랙 방정식에 따른 장으로 폴 디랙에 의해 도입되었다.

디랙 장 틀:수학 는 미소 로런츠 변환하에서

$i[M_{\mu \nu },{\psi }_a(x)]=x_{\mu }{\partial }_{\nu }{\psi }_a-x_{\nu }{\partial }_{\mu }{\psi }_a+i(S_{\mu \nu }{)}_a{}^b{\psi }_b$

라고 변환된다. 스핀 행렬 틀:수학 변수 는 감마 행렬에 의해

$S_{\mu \nu }=\frac{i}{4}({\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }-{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu })$

라고 표현된다. 디랙 장은 감마 행렬의 행렬 성분과 같은 첨자를 가지며, 4차원 시공에서는 4성분의 장이다. 디랙 표시나 손지기 표시등 감마 행렬의 표시에 의해 겉보기 성분은 변화한다.

자유장

상호작용을 하지 않는 자유 디랙 장은 디랙 방정식

$i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi -m\psi =0$

에 따른다. 틀:수학 변수 은 디랙 장을 양자화한 입자의 질량으로 해석된다. 디랙 방정식을 유도하는 라그랑지언은

$ℒ(\psi ,\partial \psi )=i\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi -m\overline{\psi }\psi$

이다. 여기서 틀:수학 는 틀:수학 변수 의 디랙 공액이다.

카이랄리티

4차원 시공간에서 감마 행렬로

${\gamma }_5\equiv i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$

로 정의된 행렬 틀:수학 는

$({\gamma }_5{)}^{†}={\gamma }_5,({\gamma }_5{)}^2=1,\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }_5\}=0$

라는 성질을 가진다. 틀:수학 는 카이랄리티라고 불린다. 틀:수학 는 고유치 틀:수학 을 갖고, 고유치 틀:수학 의 부분공간은 왼손형성분(left-handed, LH), 틀:수학 의 부분공간은 오른손성분(right-handed, RH)이라고 한다. 사영연산자를

$P_L\equiv \frac{1-{\gamma }_5}{2},P_R\equiv \frac{1+{\gamma }_5}{2}$

에 의해 정의되면,

${\psi }_L=P_L\psi$ ,

${\psi }_R=P_R\psi$

로서 왼손형, 오른손형 성분으로 분해할 수 있다. 정의로부터 명백한 것과 같이, 왼손형 성분과 오른손형 성분을 더하면 원래 스피너가 된다:

${\psi }_L+{\psi }_R=\psi$

또한 감마 행렬을 걸면 카이랄리티가 바뀐다.

${\gamma }_5({\gamma }^{\mu }{\psi }_L)=+{\gamma }^{\mu }{\psi }_L,{\gamma }_5({\gamma }^{\mu }{\psi }_R)=-{\gamma }^{\mu }{\psi }_R$

바일 스피너

바일 표시에서는 카이랄리티가

${\gamma }_5=\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{𝟏}& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}\end{array}\right)$

이 된다. 즉, 스피너 상2성분이 왼손형 성분, 하2성분이 오른손형 성분이 된다. 디랙 스피너를 카이랄리티로 나눈 2성분 스피너를 바일 스피너라고 부른다.

$\psi =\left(\begin{array}{c}\xi \\ \overline{\eta }\end{array}\right)$ .

여기서 틀:수학 변수 는 디랙 스피너（4성분）、틀:수학 변수, 틀:수학 변수 는 바일 스피너（2성분）。

디랙 방정식을 바일 스피너로 쓰면,

$i\frac{\partial \overline{\eta }}{\partial t}+i\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\overline{\eta }-m\xi =0$

$i\frac{\partial \xi }{\partial t}-i\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\xi -m\overline{\eta }=0$

가 된다. 질량이 0일 때

$i\frac{\partial \xi }{\partial t}=i\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\xi$

$i\frac{\partial \overline{\eta }}{\partial t}=-i\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\overline{\eta }$

가 되어 이것은 바일 방정식이라고 불린다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용틀:서적 인용
• 틀:서적 인용틀:서적 인용
• 틀:서적 인용틀:서적 인용
• 틀:서적 인용틀:서적 인용