디감마 함수

틀:위키데이터 속성 추적 디감마 함수(Digamma function)는 폴리감마 함수중 첫번째 함수이다.

${\psi }_0(z)$ 또는 ${\psi }^{(0)}(z)$으로도 표기한다.

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) ${\psi }_n(z)$로 주어진다.

${\psi }_n(z)=\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$

$=\frac{d^n}{d{z}^n}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

$=\frac{d^n}{d{z}^n}{\psi }_0(z)$

디감마 함수(Digamma function)

디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.

${\psi }_n(z)$에서 $n=0$

디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

${\psi }_0(z)$

$={\psi }_{}(z)$

트리감마 함수(Trigamma function)

${\psi }_n(z)$

$n=1$

${\psi }_1(z)$

감마 함수 미분의 급수 표현과 디감마 함수

${\psi }_0(z)=$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{zk+1}=\frac{\varphi (-1,1,z^{-1})}{z}$

$=\frac{1}{2z}({\psi }_0\left(\frac{z+1}{2z}\right)-{\psi }_0\left(\frac{1}{2z}\right))$

$\varphi (a,b,c)$ 레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수)

그리고,

$n=integer,$

${\psi }_0(n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$

$=-\gamma +H_{n-1}$

오일러-마스케로니 상수$\gamma ,H_n$ 조화수(Harmonic number)

같이 보기

• 감마함수
• 폴리감마 함수