등각 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, 틀:Llang)는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 두 준 리만 계량 $g$, $h$에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자.

$g=\lambda h(\lambda \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,{ℝ}^{+}))$

위와 같은 준 리만 계량의 동치류를 등각 계량(틀:Llang)이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.

성질

곡률

$d$차원 준 리만 다양체 $(M,g)$의 리만 곡률

$\mathrm{Riem}(X,Y)Z=([{\mathrm{\nabla }}_X,{\mathrm{\nabla }}_Y]-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]})Z$

$(\mathrm{Riem}(X,Y)Z{)}^l=R^l{}_{ijk}{Z}^i{X}^j{Y}^k$

을 생각하고, 리치 곡률

${\mathrm{Ric}}_{ij}={\mathrm{Riem}}^l{}_{ilj}$

를 정의하자. 그렇다면,

$g{\text{'}}_{ij}=\exp (2\varphi )g_{ij}$

에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.

$\mathrm{Ric}[g^{\prime }{]}_{ij}=\mathrm{Ric}[g{]}_{ij}-(d-2)({\mathrm{\nabla }}_i{\partial }_j\varphi -({\partial }_i\varphi ){\partial }_j\varphi )-g_{ij}{g}^{kl}({\mathrm{\nabla }}_k{\partial }_l\varphi +(d-2)({\partial }_k\varphi ){\partial }_i\varphi )$

즉, 리치 곡률은 $d\ge 2$일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론 $d\le 1$일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)

반면, $d>2$일 때, 바일 곡률 텐서

$C^i{}_{jkl}={\mathrm{Riem}}^i{}_{jkl}+\frac{{\mathrm{Ric}}_{i^{\prime }l}{g}^{i{i}^{\prime }}{g}_{jk}-{\mathrm{Ric}}_{i^{\prime }k}{g}^{i{i}^{\prime }}{g}_{jl}+{\mathrm{Ric}}_{jk}{\delta }_l^i-{\mathrm{Ric}}_{i^{\prime }l}{g}^{i{i}^{\prime }}{g}_{jk}}{d-2}+\frac{{\delta }_k^i{g}_{jl}-{\delta }_l^i{g}_{jk}}{(d-1)(d-2)}{g}^{mn}{\mathrm{Ric}}_{mn}$

를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.

호지 쌍대

$p$차 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환 $g(-,-)\mapsto \exp (2\varphi )g(-,-)$에 대하여 다음과 같이 변환한다.

${*}^{\prime }=\exp ((d-2p)\varphi )*$

다시 말해, 만약 $p=d/2$일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.

등각 킬링 벡터장

등각 다양체 $(M,[g])$ 위의 등각 킬링 벡터장(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.

${ℒ}_{X}g=\lambda g(\lambda \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,{ℝ}^{+}))$

이는 구체적으로 다음과 같다.

${\mathrm{\nabla }}_i{X}_j+{\mathrm{\nabla }}_j{X}_i-\frac{2}{d}{g}_{ij}{\mathrm{\nabla }}_k{X}^k=0$

이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab