동축원 다발

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 동축원 다발(同軸圓-, 틀:Llang)은 같은 근축을 공유하는 원들의 족이다.

정의

평면 ${ℝ}^2$ 위에서 서로 다른 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$의 방정식이

$a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d=0$

$a^{\prime }(x^2+y^2)-2b^{\prime }x-2c^{\prime }y+d^{\prime }=0$

이라고 하자. 여기서 $(a,b,c,d)$와 $(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime })$은 실수 동차 좌표이다. (이 두 원은 각각 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선이다.) 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$으로 생성된 동축원 다발은 방정식이

$\lambda (a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d)+{\lambda }^{\prime }(a^{\prime }(x^2+y^2)-2b^{\prime }x-2c^{\prime }y+d^{\prime })=0$

인 원

$\lambda \mathrm{\Gamma }+{\lambda }^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$

들의 족 $𝒞$이다. 여기서 $(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$은 실수 동차 좌표이다.

분류

평면 ${ℝ}^2$ 위에서 서로 다른 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$으로 생성되는 동축원 다발 $𝒞$는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상 $𝒞$가 실원을 포함할 경우 $\mathrm{\Gamma }$가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우 $\mathrm{\Gamma }$가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표 $(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$에 대하여,

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}(\lambda ,{\lambda }^{\prime })={\lambda }^2(b^2+c^2-ad)+\lambda {\lambda }^{\prime }(2(b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime })-(a{d}^{\prime }+a^{\prime }d))+{{\lambda }^{\prime }}^2({b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2-a^{\prime }{d}^{\prime })$

와 같이 표기하자. 이는 $(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$에 대한 실수 이차 형식이다. $\lambda \mathrm{\Gamma }+{\lambda }^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$이 직선이 아닐 경우 이는 $\lambda \mathrm{\Gamma }+{\lambda }^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약 $\lambda \mathrm{\Gamma }+{\lambda }^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$이 직선이 아니고 ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$이 양수·0·음수일 경우, $\lambda \mathrm{\Gamma }+{\lambda }^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식 ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$의 행렬식은 다음과 같다.

$4\det {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}=4(b^2+c^2-ad)({b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2-a^{\prime }{d}^{\prime })-(2(b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime })-(a{d}^{\prime }+a^{\prime }d){)}^2$

동축원 다발 $𝒞$는 이차 형식 ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다.

타원형 동축원 다발

만약 $\det {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}>0$이라면, ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$은 양의 정부호 이차 형식이며, $𝒞$ 속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 $\mathrm{\Gamma }$와 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$은 서로 다른 두 교점 $P,Q$에서 만난다. 보다 일반적으로 $𝒞$는 $P$와 $Q$를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히 $𝒞$의 근축은 직선 $PQ$이다. 이 경우 $𝒞$를 타원형 동축원 다발(楕圓型同軸圓-, 틀:Llang) 또는 교차 동축원 다발(交叉同軸圓-, 틀:Llang)이라고 하고, 두 공통 교점 $P,Q$를 $𝒞$의 기저점(基底點, 틀:Llang)이라고 한다.

만약 두 교점 가운데 하나가 확장 복소평면의 무한대 $Q=\hat{\mathrm{\infty }}$일 경우, $𝒞$는 교점이 $P$인 공점선 다발이다.

포물형 동축원 다발

만약 $\det {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}=0$이라면,

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}:(\lambda ,{\lambda }^{\prime })\mapsto {(\lambda \sqrt{b^2+c^2-ad}\pm {\lambda }^{\prime }\sqrt{{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2-a^{\prime }{d}^{\prime }})}^2$

은 완전 제곱의 꼴이고, $𝒞$는 유일한 점원 $P$를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 $\mathrm{\Gamma }$와 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$은 어떤 점 $P$에서 서로 접한다. 보다 일반적으로 $𝒞$ 속 임의의 두 원은 $P$에서 접하며, 특히 $𝒞$의 근축은 $P$에서의 공통 접선이다. 이 경우 $𝒞$를 포물형 동축원 다발(抛物型同軸圓-, 틀:Llang) 또는 접동축원 다발(接同軸圓-, 틀:Llang)이라고 한다.

만약 $P=\hat{\mathrm{\infty }}$일 경우, $𝒞$는 평행선 다발이다.

쌍곡형 동축원 다발

만약 $\det {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}<0$이라면, ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$은 부정부호 이차 형식이며, $𝒞$의 비직선 원소는 실원과 허원 그리고 2개의 점원 $P,Q$로 이루어진다. 또한 $\mathrm{\Gamma }$와 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$은 서로 만나지 않는다. 보다 일반적으로 $𝒞$ 속 임의의 서로 다른 두 원은 서로 만나지 않으며, 특히 근축과 교점을 갖지 않는다. 이 경우 $𝒞$를 쌍곡형 동축원 다발(雙曲型同軸圓-, 틀:Llang) 또는 비교차 동축원 다발(非交叉同軸圓-, 틀:Llang)이라고 하고, 두 점원 $P,Q$를 $𝒞$의 극한점(極限點, 틀:Llang)이라고 한다.

만약 $Q=\hat{\mathrm{\infty }}$일 경우, $𝒞$는 중심이 $P$인 동심원 다발이다.

성질

동축원 다발 $𝒞$는 2차원 부분 사영 공간이므로, 서로 다른 임의의 두 원소는 $𝒞$를 생성한다.

중심선과 근축

동축원 다발 $𝒞$ 속 원의 중심들은 공선점을 이룬다. 동축원 다발 $𝒞$ 속 임의의 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\in 𝒞$의 근축은 같다. 이를 동축원 다발 $𝒞$의 근축(根軸, 틀:Llang)이라고 한다. 동축원 다발 $𝒞$의 근축은 중심선의 수선이며, 또한 $𝒞$의 한 원소이다. 즉, $𝒞$ 속의 두 원의 방정식으로부터 2차항을 소거하면 근축의 방정식을 얻는다. 동축원 다발 $𝒞$ 속 임의의 비직선 원소에 대한 $𝒞$의 근축 위의 주어진 점의 방멱은 같다.

동축원 다발 $𝒞$의 중심선을 $x$축으로 삼고 근축을 $y$축으로 삼았을 경우 $𝒞$의 비직선 원소들은 다음과 같은 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.

$x^2+y^2-2ax+c=0$

여기서 $c$는 $𝒞$ 속 임의의 비직선 원소에 대한 $𝒞$의 중심(=중심선과 근축의 교점)의 방멱이고, $a\in ℝ$는 매개변수이다. 만약 $c<0$이라면, $𝒞$는 기저점이 $(0,\pm \sqrt{-c})$인 타원형 동축원 다발이며, 위 방정식은 모든 $a\in ℝ$에 대하여 실원을 나타낸다. 만약 $c=0$이라면, $𝒞$는 포물형 동축원 다발이며, 위 방정식은 $a\in ℝ\setminus \{0\}$에 대하여 실원을 나타내고, $a=0$에 대하여 점원을 나타낸다. 만약 $c>0$이라면, $𝒞$는 극한점이 $(\sqrt{c},0)$인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은 $a\in (-\mathrm{\infty },-\sqrt{c})\cup (\sqrt{c},\mathrm{\infty })$에 대하여 실원을 나타내고, $a=\pm \sqrt{c}$에 대하여 점원을, $a\in (-\sqrt{c},\sqrt{c})$에 대하여 허원을 나타낸다.

직교 동축원 다발

임의의 동축원 다발 $𝒞$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발 ${𝒞}^{\perp }$가 존재하며, 이를 $𝒞$의 직교 동축원 다발(直交同軸圓-, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $\mathrm{\Gamma }\in 𝒞$ 및 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\in {𝒞}^{\perp }$에 대하여, $\mathrm{\Gamma }$와 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$은 서로 직교한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.)

자명하게 ${𝒞}^{\perp \perp }=𝒞$가 성립한다. $𝒞$의 직교 동축원 다발 ${𝒞}^{\perp }$의 중심선과 근축은 각각 $𝒞$의 근축과 중심선이다. 만약 $𝒞$가 기저점이 $P,Q$인 타원형 동축원 다발이라면, ${𝒞}^{\perp }$는 극한점이 $P,Q$인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약 $𝒞$가 교점이 $P$인 공점선 다발이라면, ${𝒞}^{\perp }$는 중심이 $P$인 동심원 다발이다. 만약 $𝒞$가 포물형 동축원 다발이라면, ${𝒞}^{\perp }$는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 $𝒞$가 평행선 다발이라면, ${𝒞}^{\perp }$ 역시 평행선 다발이다. 만약 $𝒞$가 극한점이 $P,Q$인 쌍곡형 동축원 다발이라면, ${𝒞}^{\perp }$는 기저점이 $P,Q$인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 $𝒞$가 중심이 $P$인 동심원 다발이라면, ${𝒞}^{\perp }$는 교점이 $P$인 공점선 다발이다.

반전에 대한 상

원에 대한 반전에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다.

입체 사영에 대한 상

동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간 ${ℝ}^3$ 속 단위구

${𝕊}^2=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x^2+y^2+z^2=1\}$

와 평면 $z=0$ 사이의, 북극 $(0,0,1)$에 대한 입체 사영

$\phi :{𝕊}^2\to {ℝ}^2\bigsqcup \{\hat{\mathrm{\infty }}\}$

$\phi :(x,y,z)\mapsto (\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z})((x,y,z)\in {𝕊}^2)$

를 생각하자. 평면 $z=0$ 속 두 원 $\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$의 원상 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma }),{\phi }^{-1}({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다.

$-2bx-2cy+(a-d)z+(a+d)=0$

$-2b^{\prime }x-2c^{\prime }y+(a^{\prime }-d^{\prime })z+(a^{\prime }+d^{\prime })=0$

이 두 평면 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma }),{\phi }^{-1}({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$은 단위구 ${𝕊}^2$와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약 $\mathrm{\Gamma }$가 실원 또는 유한 직선이라면 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma })$는 ${𝕊}^2$의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma })$는 점원이며, 허원이라면 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma })$ 역시 ${𝕊}^2$ 허원이다. 특히 만약 $\mathrm{\Gamma }$가 단위 허원이라면 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma })$는 무한원 평면이다. 마찬가지로 만약 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면 ${\phi }^{-1}({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$은 각각 ${𝕊}^2$의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면 ${\phi }^{-1}({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$은 무한원 평면이다.

동축원 다발 $𝒞=(\lambda \mathrm{\Gamma }+{\lambda }^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{)}_{(\lambda ,{\lambda }^{\prime })}$은 교선이 ${\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma })\cap {\phi }^{-1}({\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$인 공선면 다발

${\phi }^{-1}(𝒞)=(\lambda {\phi }^{-1}(\mathrm{\Gamma })+{\lambda }^{\prime }{\phi }^{-1}({\mathrm{\Gamma }}^{\prime }){)}_{(\lambda ,{\lambda }^{\prime })}$

과 일대일 대응한다. 만약 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선이 단위구 ${𝕊}^2$와 서로 다른 두 점 $P,Q$에서 만난다면, $𝒞$는 기저점이 ${\phi }^{-1}(P),{\phi }^{-1}(Q)$인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극 $Q=(0,0,1)$이라면, $𝒞$는 교점이 ${\phi }^{-1}(P)$인 공점선 다발이다. 만약 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선이 단위구 ${𝕊}^2$에 점 $P$에서 접한다면, $𝒞$는 중심이 ${\phi }^{-1}(P)$이고 근축이 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선과 평면 $z=0$의 교점과 ${\phi }^{-1}(P)$를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극 $P=(0,0,1)$이라면, $𝒞$는 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선이 단위구 ${𝕊}^2$와 만나지 않는다면, $𝒞$는 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 단위구 ${𝕊}^2$에 접하는 두 원소의 두 접점 $P,Q$에 대한 원상 ${\phi }^{-1}(P),{\phi }^{-1}(Q)$를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극 $Q=(0,0,1)$이라면, $𝒞$는 중심이 ${\phi }^{-1}(P)$인 동심원 다발이다.

서로 직교하는 두 동축원 다발 $𝒞,{𝒞}^{\perp }$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\phi }^{-1}({𝒞}^{\perp })$의 원소들의 극은 모두 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선 위의 점이며, ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 원소들의 극은 모두 ${\phi }^{-1}({𝒞}^{\perp })$의 교선 위의 점이다. 특히, 만약 $𝒞$가 쌍곡형 동축원 다발일 경우, ${\phi }^{-1}({𝒞}^{\perp })$의 교선은 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 원소와 ${𝕊}^2$의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약 $𝒞$가 포물형 동축원 다발일 경우 ${\phi }^{-1}({𝒞}^{\perp })$의 교선은 ${\phi }^{-1}(𝒞)$의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다.

같이 보기

• 근축#동축원 다발

외부 링크

• 틀:매스월드