동등 연속 함수족

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틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 동등 연속 함수족(同等連續函數族, 틀:Llang)은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.

정의

동등 연속 함수족

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

임의의 측근 ϵ∈ℰY에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방 U∋x가 존재한다면, ℱ가 x에서 동등 연속 함수족(틀:Llang)이라고 한다.[1]틀:Rp

  • 임의의 f∈ℱ 및 x′∈U에 대하여, f(x)≈ϵf(x′)

모든 점에서 동등 연속인 함수족을 동등 연속 함수족이라고 한다.

균등 동등 연속 함수족

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

임의의 측근 ϵ∈ℰY에 대하여 다음 조건을 만족시키는 측근 δ∈ℰX가 존재한다면, ℱ가 균등 동등 연속 함수족(均等同等連續函數族, 틀:Llang)이라고 한다.[1]틀:Rp

  • 임의의 f∈ℱ 및 x,x′∈X에 대하여, 만약 x≈δx′이라면 f(x)≈ϵf(x′)이다.

여기서 x≈δx0는 (x,x0)∈δ∈ℰX인 것이다. 만약 X의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 δ를 어떤 양의 실수로 생각하며, dX(x,x0)<δ로 해석해도 좋다. (f(x)≈ϵf(x0) 또한 마찬가지다.)

성질

함의 관계

두 균등 공간 (X,ℰX), (Y,ℰY) 사이의 함수족 ℱ에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다.

개념 δ가 ϵ에 의존? δ가 f에 의존? δ가 x에 의존? 정의
연속 함수족 예 예 예 ∀ϵ∈ℰY∀f∈ℱ∀x∈X∃δ∈ℰX∀f∈ℱ∀x∈X∀x′∈X:(x≈δx′⟹f(x)≈ϵf(x′))
균등 연속 함수족 예 예 아니오 ∀ϵ∈ℰY∀f∈ℱ∀x∈X∃δ∈ℰX∀f∈ℱ∀x∈X∀x′∈X:(x≈δx′⟹f(x)≈ϵf(x′))
동등 연속 함수족 예 아니오 예 ∀ϵ∈ℰY∀f∈ℱ∀x∈X∃δ∈ℰX∀f∈ℱ∀x∈X∀x′∈X:(x≈δx′⟹f(x)≈ϵf(x′))
균등 동등 연속 함수족 예 아니오 아니오 ∀ϵ∈ℰY∀f∈ℱ∀x∈X∃δ∈ℰX∀f∈ℱ∀x∈X∀x′∈X:(x≈δx′⟹f(x)≈ϵf(x′))

여기서

그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

균등 동등 연속 함수족 ⇒ 동등 연속 함수족
⇓ ⇓
균등 연속 함수족 ⇒ 연속 함수족

아르첼라-아스콜리 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 함수 집합 YX 위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다.

아르첼라-아스콜리 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]틀:Rp

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]틀:Rp

예

다음과 같은 함수열을 생각하자.

{x↦arctan⁡nx:n∈ℕ}⊆ℝℝ

이는 x=0에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 x=0에서 기울기들의 열 {darctan⁡(nx)/dx|x=0=n}n∈ℕ이 발산하기 때문이다.

역사

동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(틀:Llang, 1843~1896)[2]와 체사레 아르첼라(틀:Llang, 1847~1912)[3]가 도입하였다.

각주

틀:각주

외부 링크

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 틀:서적 인용
  2. ↑ 틀:저널 인용
  3. ↑ 틀:저널 인용
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