도다 격자

틀:위키데이터 속성 추적 응집물질물리학에서 도다 격자(틀:Llang)는 1차원 결정을 나타내는 모형이다. 적분가능계의 대표적인 예로, 솔리톤을 가진다.

역사

도다 모리카즈(틀:Llang)가 1967년 도입하였다.

정의

도다 격자는 1차원 입자들의 사슬로 구성된다. 각 입자의 위치를 $q_i$라고 하자. 서로 이웃하는 두 입자 사이의 상호작용은 다음과 같다.

${\ddot{q}}_i=\exp (q_{i-1}-q_i)-\exp (q_i-q_{i+1})$

도다 격자는 플라슈카 변수(틀:Llang)을 사용하여 간단히 풀 수 있다.

$a_i=\frac{1}{2}\exp ((q_i-q_{i+1})/2)$

$b_i=-{\dot{q}}_i/2$

그렇다면 운동 방정식은 다음과 같다.

${\dot{a}}_i=a_i(b_{i+1}-b_i)$

${\dot{b}}_i=2(a_i^2-a_{i-1}^2)$

따라서 다음과 같은 럭스 쌍 $(L,P)$가 존재한다. 이들은 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb{Z})$ 위의 선형작용소이다.

$(Lf{)}_i=a_i{f}_{i+1}+a_{i-1}{f}_{i-1}+b_i{f}_i$

$(Pf{)}_i=a_i{f}_{i+1}-a_{i-1}{f}_{i-1}$

이들은 럭스 방정식

$\dot{L}=[P,L]$

을 만족시키므로, 도다 격자는 적분가능계이다. 도다 격자의 운동 상수들은 $L$의 고윳값들이다.

같이 보기

• 럭스 쌍

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• Integrable Hamiltonians with Exponential Potential, Eugene Gutkin, Physica 16D (1985) 398-404.
• 틀:서적 인용