공적분
틀:위키데이터 속성 추적 공적분(틀:Lang)은 여러 시계열 변수 사이의 통계적 성질을 나타내는 용어이다. 안정 상태의 시계열을 얻기 위해 필요한 차분 횟수를 적분 차수(틀:Lang)이라고 하는데, 시계열의 적분 차수가 모두 d일때, 시계열의 선형 결합의 적분 차수가 d보다 작을 때 시계열 사이에 공적분 관계가 존재한다고 한다.
역사
1926년 우드니 율이 허구적 회귀 문제라는 개념을 처음으로 도입하여 분석하였다.[1] 1980년대 이전에는 경제학자가 주로 불안정적인 시계열 자료를 이용하여 선형 회귀 모형을 추정하였으나 클라이브 그레인저와 폴 뉴볼드가 이 경우 허구적 회귀 문제를 야기할 수 있다는 것을 보였다.[2] 그레인저와 로버트 엥글의 1987년 논문에서 공적분 벡터를 통한 접근으로 공적분이라는 개념을 공식화하였다.[3]
허구적 회귀 문제
시계열 자료가 불안정적인 경우 두 시계열 변수 사이에 아무런 관계가 없다고 하더라도 산점도에서 볼 때는 상관관계가 있는 것처럼 나타날 수 있다. 오른쪽 그림의 두 시계열은 서로 아무런 관련성 없이 AR(1) 확률보행 과정을 통해 생성되었으나 산점도를 보면 양의 상관관계가 있는 것처럼 보인다. 오른쪽 그림의 두 시계열은 다음과 같은 방법으로 생성되었다.
두 시계열이 서로 아무런 관련성이 없는데도 회귀 모형을 추정하면 유의미한 관계가 있는 것처럼 나타나는 것을 허구적 회귀(spurious regression)이라 한다.[4]틀:Rp 확률보행 과정을 따르는 시계열 또는 적분된 시계열의 수준을 분석하는 경우에는 두 시계열이 아무런 관계가 없음에도 불구하고 통계적으로 유의하다는 결론을 낼 확률이 상당히 높게 나타나는 문제가 발생한다.[2]
공적분 관계
시계열을 회 차분하여 안정 상태가 될 때 를 적분 차수라고 하며, 라 표기한다. 이고 이면 두 시계열의 선형 결합은 적분 차수가 1이 되는 게 일반적이지만, 이 되는 특별한 예외가 존재하는데 이 경우 두 시계열이 공적분되었다고 한다.[4]틀:Rp[5][6]
이를 일반화하여 시계열 변수를 모은 벡터를 라 할 때, 의 성분이 되는 모든 시계열 변수가 이고, 에 대해 시계열 변수의 선형 결합 일 때, 의 성분이 되는 시계열은 공적분되었다고 하며, 시계열을 공적분되게 하는 벡터 를 공적분 벡터라고 한다.[3] 예를 들어 , 이고 이 될 때 두 시계열의 공적분 벡터는 가 된다.[7]
공적분 관계는 취객과 그의 개 사이의 목줄에 비유하여 설명하기도 한다.[8]
공적분 검정
공적분 관계를 검정할 때 다음 3가지 방법이 주로 사용된다.
Engle-Granger 2단계 방법
와 가 불안정적이며 모두 일 때 이 두 시계열의 선형 결합은 안정적이어야 한다.
위 식에서 은 안정적이다.
만약 를 알고 있다면 디키-풀러 검정, 필립스-페론 검정을 시행하여 안정성을 검정할 수 있다. 만약 를 모를 때는 회귀식을 먼저 추정한 후 추정된 잔차 를 기반으로 안정성에 대한 검정을 시행한다.
두 번째 회귀식은 잔차의 차분 을 설명변수로 1기 전의 잔차 을 포함하여 추정하는 방법으로 검정을 시행한다.
요한센 검정
요한센 검정은 하나 이상의 공적분 관계가 존재하는 경우에 검정을 할 수 있는 방법이다. 그러나 이 검정은 점근적 성질을 가지고 있어 대표본에서 적합하다. 표본이 너무 적은 경우에는 검정 결과를 신뢰할 수 없으며 이 경우에는 ARDL 방법을 이용하여야 한다. [9][10]
Phillips–Ouliaris 공적분 검정
Phillips와 Ouliaris (1990)는 잔차 기반 단위근 검정이 공적분되지 않는다는 귀무가설 하에 통상적인 디키-풀러 분포를 따르지 않는다는 것을 보였다.[11] 귀무가설의 허구적 회귀 문제로 인해, 이 검정에서의 분포는 결정적 추세항과 공적분 관계를 검정한 변수의 수에 의존하는 점근적 분포를 따르게 된다. Phillips–Ouliaris 분포의 임계값이 따로 마련되어 있다.