곡선 비틀림

미분기하학에서 곡선 비틀림(틀:Llang)은 3차원 공간 속의 곡선에 대하여 대응되는 스칼라 값 함수이며, 공간 곡선이 곡률로서 정의되는 평면으로부터 얼마나 빨리 “비틀려” 이탈하는지를 측정하는 값이다.

정의

𝐫 : ℝ \to ℝ^{3}

𝐫 : t \mapsto 𝐫 (t)

𝐫 = 𝐫_{0} + \int_{0}^{t} 𝐯 (t) d t

의 비틀림

τ : ℝ \to ℝ

τ : t \mapsto τ (t)

은 다음과 같다.

τ = \frac{\det (𝐯, \dot{𝐯}, \ddot{𝐯})}{{‖ 𝐯 \times \dot{𝐯} ‖}^{2}} = \frac{(𝐯 \times \dot{𝐯}) \cdot \ddot{𝐯}}{{‖ 𝐯 \times \dot{𝐯} ‖}^{2}}

여기서 윗점은 시간에 대한 미분 $d / d t$ 이다.

보다 구체적으로,

𝐫 (t) = (x (t), y (t), z (t))

일 경우, 그 비틀림은 다음과 같다.

τ = \frac{z^{‴} (x^{'} y^{″} - y^{'} x^{″}) + z^{″} (x^{‴} y^{'} - x^{'} y^{‴}) + z^{'} (x^{″} y^{‴} - x^{‴} y^{″})}{(x'^{2} + y'^{2} + z'^{2}) (x^{'}'^{2} + y^{'}'^{2} + z^{'}'^{2})} .

$1 / τ$ 는 비틀림 반지름(틀:Llang)이라고 한다.

곡선의 비틀림이 모든 점에서 0일 필요 충분 조건은 그 곡선을 포함하는 평면이 존재하는 것이다.

우향 나선의 비틀림은 양수이며, 좌향 나선의 비틀림은 음수이다.