나선

나선 (cos t, sin t, t)

나선(螺旋, 틀:문화어)은 3차원 공간의 곡선과 같이, 매끄러운 곡선의 일종이다. 이는 물체의 겉모양이 빙빙 비틀린 형태를 지닌다. 나선의 영어 낱말 helix(헬릭스)는 "꺾인, 굽은"을 뜻하는 그리스어 낱말 ἕλιξ에서 왔다.

수학

3차원 공간 곡선으로서의 나선:

$\begin{array}{cc}x(t)& =\cos (t),\\ y(t)& =\sin (t),\\ z(t)& =t.\end{array}$

원통좌표계 (r, θ, h):

$\begin{array}{cc}r(t)& =1,\\ \theta (t)& =t,\\ h(t)& =t.\end{array}$

원 나선(반지름 a, 2πb):

$\begin{array}{cc}x(t)& =a\cos (t),\\ y(t)& =a\sin (t),\\ z(t)& =bt.\end{array}$

호의 길이, 곡률과 비틀림(Arc length, curvature and torsion)

반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (or pitch 2πb) 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

$t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]$

나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다.

$𝐫=a\cos t𝐢+a\sin t𝐣+bt𝐤$

이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면

$𝐯=-a\sin t𝐢+a\cos t𝐣+b𝐤$

$𝐚=-a\cos t𝐢-a\sin t𝐣+0𝐤$

이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다.

$|𝐯|=\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2+b^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

$|𝐚|=\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2}=a$

호의 길이를 구하는 변수를 구하면

$s(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{a^2+b^2}d\tau =\sqrt{a^2+b^2}t$

이다. 이제 변수 $s$ 로 위치벡터를 다시 매개변수화하자.

$𝐫=a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+\frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐤$

변수 $s$ 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면

$\frac{d𝐫}{ds}=𝐓=\frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐤$

$\frac{d𝐓}{ds}=\kappa 𝐍=\frac{-a}{a^2+b^2}\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+\frac{-a}{a^2+b^2}\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+0𝐤$

이다. 따라서 나선의 곡률은 $\left|\frac{d𝐓}{ds}\right|=\kappa =\frac{a}{a^2+b^2}$이다.

단위 법선벡터를 구하면

$𝐍=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢-\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+0𝐤$

이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.

$𝐁=𝐓\times 𝐍=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}[b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢-b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+a𝐤]$

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.

$\frac{d𝐁}{ds}=\frac{1}{a^2+b^2}[b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+0𝐤]$

비틀림은 $\tau =\left|\frac{d𝐁}{ds}\right|=\frac{b}{a^2+b^2}$이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.

참고 공간 곡선 운동에 관하여

같이 보기

• 알파 나선
• 원편파
• 솔레노이드
• 초나선
• 삼중나선