고전적 수반 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 고전적 수반 행렬(古典的隨伴行列, 틀:Llang)은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 기호는 $\mathrm{adj}$.

정의

가환환 $R$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;R)$의 고전적 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.

$\mathrm{adj}M=\mathrm{C}(M{)}^{\mathrm{\top }}\in \mathrm{Mat}(n;R)$

즉, $\mathrm{adj}M$의 $(i,j)$-성분은 $M$의 $j$번째 행 및 $i$번째 열을 지운 여인자이다.

$(\mathrm{adj}M{)}_{ij}=\mathrm{C}(M{)}_{ji}=(-1{)}^{i+j}\det (M_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{j\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}})$

여기서 $\det$는 행렬식이다.

성질

가환환 $R$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;R)$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$M\mathrm{adj}M=(\mathrm{adj}M)M=(\det M)1_{n\times n}$

특히, 만약 $\det M\in R$가 가역원이라면 ($R$가 체인 경우 이는 $\det M\ne 0$이라는 조건과 같다), $M$의 역행렬은 다음과 같다.

$M^{-1}=(\det M{)}^{-1}\mathrm{adj}M$

그 밖에 다음 항등식들이 성립한다.

$\det (\mathrm{adj}M)=(\det M{)}^{n-1}$

$\mathrm{adj}(M^{\mathrm{\top }})=\mathrm{adj}M$

예제

1 × 1 일반 행렬

0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 $𝐈=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$이고, adj(0) = 0으로 정의한다.

2 × 2 일반 행렬

2×2 행렬

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

의 수반행렬은

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$

이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다.

$𝐀\mathrm{adj}(𝐀)=\left[\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right]=(\det 𝐀)𝐈.$

이 경우에는 det(adj(A)) = det(A)이 성립하고, 결국 adj(adj(A)) = A이다.

3 × 3 일반 행렬

다음 3×3 행렬은

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right].$

다음과 같이 여인자_행렬을 구하고

$𝐂=\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right],$

여기서

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right|=\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right].$

수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다.

$\mathrm{adj}(𝐀)={𝐂}^{𝖳}=\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right].$

3 × 3 행렬 수치 계산 예

다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.

$\mathrm{adj}\left[\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-8& 18& -4\\ -5& 12& -1\\ 4& -6& 2\end{array}\right].$

이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 틀:Math을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 틀:Math은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬,

$\left[\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& -2\end{array}\right].$

과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.

$(-1{)}^{3+2}\det \left[\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& -2\end{array}\right]=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,$

그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 틀:Math이다.

같이 보기

• 케일리-해밀턴 정리
• 크라메르 법칙

외부 링크

• 틀:플래닛매스