고립 특이점

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, 틀:Llang)은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 및 점 $z_0\in D$ 및 함수 $f:D\setminus \{z_0\}\to ℂ$에 대하여, $f{|}_{N\cap D\setminus \{z_0\}}$가 정칙 함수가 되는 근방 $N\ni z_0$이 존재한다면, $z_0$을 $f$의 고립 특이점이라고 한다.

만약 0이 $z\mapsto f(1/z)$의 고립 특이점이라면, 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$를 $f$의 고립 특이점이라고 한다.

분류

고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.

구체적으로, 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 및 점 $z_0\in D$ 및 함수 $f:D\setminus \{z_0\}\to ℂ$가 주어졌고, $z_0$이 $f$의 고립 특이점이라고 하자.

제거 가능 특이점

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $z_0$을 $f$의 제거 가능 특이점이라고 한다.틀:Rp

• $f$는 $z_0$에서 해석적 연속을 갖는다. 즉, $g{|}_{N\cap D\setminus \{z_0\}}=f{|}_{N\cap D\setminus \{z_0\}}$인 근방 $N\ni z_0$ 및 정칙 함수 $g:N\cap D\to ℂ$가 존재한다.
• $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$는 $ℂ$에서 존재한다.
• $f$는 $z_0$에서 국소 유계 함수이다. 즉, $f{|}_{N\cap D\setminus \{z_0\}}$가 유계 함수가 되는 근방 $N\ni z_0$이 존재한다.
• $\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0)f(z)=0$
• $f$의 $z_0$에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.

극점

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $z_0$을 $f$의 극점이라고 한다.틀:Rp

• $f$는 $z_0$에서 해석적 연속을 갖지 않으며, $1/f$는 $z_0$에서 해석적 연속을 갖는다.
• $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\hat{\mathrm{\infty }}$
• $f$의 $z_0$에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

본질적 특이점

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $z_0$을 $f$의 본질적 특이점이라고 한다.틀:Rp

• $f$와 $1/f$는 $z_0$에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
• $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$는 $\overline{ℂ}$에서 존재하지 않는다.
• $f$의 $z_0$에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

무한대의 경우

무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$의 $f$의 고립 특이점으로서의 분류는 0의 $z\mapsto f(1/z)$의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.

예

함수

$f_1:ℂ\setminus \{0\}\to ℂ$

$f_1(z)=\frac{\sin z}{z}\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus \{0\}$

는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.

함수

$f_2:ℂ\setminus \{0\}\to ℂ$

$f_2(z)=\frac{1}{z}\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus \{0\}$

는 0을 극점으로 갖는다.

함수

$f_3:ℂ\setminus \{0\}\to ℂ$

$f_3(z)=e^{1/z}\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus \{0\}$

는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.

0은 함수

$f_4:ℂ\setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}\to ℂ$

$f_4(z)=\csc \frac{1}{z}\mathrm{\forall }z\in ℂ\setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}$

의 고립 특이점이 아니다.

전해석 함수

모든 전해석 함수 $f:ℂ\to ℂ$는 $\hat{\mathrm{\infty }}$를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 $f$가 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며, $f$가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드