계승적 집합

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서, 어떤 모임 $X$에 대한 $X$-계승적 집합(繼承的集合, 틀:Llang)은 $X$에 속하며, 그 모든 원소도 $X$에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시 $X$에 속하는 집합이다.

정의

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.

• $\mathrm{\forall }x\in X:(x\in S⟺x\subseteq S)$
• $S=\{x\in X:x\cap \bigcup x\cup \bigcup \bigcup \cup \cdots \subseteq X\}$
• $X$의 추이적 부분 집합들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합의 최대 원소이다.

이 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subseteq X$는 유일하며, 이를 $\mathrm{Hered}(X)\subseteq X$로 표기하자. $\mathrm{Hered}(X)$의 원소는 $X$-계승적 집합(틀:Llang)이라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 모임 $X$에 대하여, 마찬가지로 $X$-계승적 집합들의 모임 $\mathrm{Hered}(X)\subseteq X$을 정의할 수 있다. 그러나 $X$가 고유 모임이더라도 $\mathrm{Hered}(X)$는 집합일 수 있다.

성질

다음이 성립한다.

$H_{{\mathrm{\aleph }}_1}\subseteq V_{{\omega }_2}$

즉, 계승적 가산 집합의 계수는 ${\omega }_1$ 미만이다.

예

$X$	$\mathrm{Hered}(X)$	집합?	설명
모든 집합의 모임 $\mathrm{Set}$	$V=\mathrm{Set}$	고유 모임	폰 노이만 전체 (정칙성 공리를 가정할 경우)
추이적 집합 $T$	$\mathrm{Hered}(T)=T$	집합
기수 $\kappa$에 대하여, 크기 $\kappa$ 미만의 집합들의 모임 ${\mathrm{Set}}_{<\kappa }$	$\mathrm{Hered}({\mathrm{Set}}_{<\kappa })=H_{\kappa }$	집합	계승적 $\kappa$-미만 집합들의 집합
유한 집합들의 모임 ${\mathrm{Set}}_{<{\mathrm{\aleph }}_0}$	$\mathrm{Hered}({\mathrm{Set}}_{<{\mathrm{\aleph }}_0})=H_{{\mathrm{\aleph }}_0}=V_{\omega }$	집합	계승적 유한 집합(繼承的有限集合, 틀:Llang)들의 집합. 폰 노이만 전체의 단계 $V_{\omega }$와 같다
가산 집합들의 모임 ${\mathrm{Set}}_{<{\mathrm{\aleph }}_0}$	$\mathrm{Hered}({\mathrm{Set}}_{<{\mathrm{\aleph }}_1})=H_{{\mathrm{\aleph }}_1}$	집합	계승적 가산 집합(繼承的可算集合, 틀:Llang)들의 집합
추이적 집합들의 모임 $\mathrm{transSet}$	$\mathrm{Hered}(\mathrm{transSet})=\mathrm{Ord}$	고유 모임	(폰 노이만 정의에서의) 순서수의 모임
$\{\varnothing \}$	$\mathrm{Hered}(\{\varnothing \})=\varnothing$	집합
$\varnothing$	$\mathrm{Hered}(\varnothing )=\varnothing$	집합
순서수 정의 가능 집합 $\mathrm{OD}$	$\mathrm{Hered}(\mathrm{OD})=\mathrm{HOD}$	고유 모임	계승적 순서수 정의 가능 집합(틀:Llang)

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용