검은 막

틀:위키데이터 속성 추적 일반 상대성 이론과 끈 이론에서 검은 막(틀:Llang)은 고차원 중력 이론에 존재하는 개체로, 블랙홀과 같이 사건 지평선을 가지지만 블랙홀과 달리 공간적으로 국한돼 있지 않다. 공간적으로 $p$차원을 차지하는 검은 막을 검은 p-막이라고 한다.

정의

$n$차원 민코프스키 시공간 속에서, $p+1$차원의 검은 막이 주어졌다고 하자. (즉, $p=0$은 블랙홀이며, $p=1$은 검은 끈이다.) 검은 막의 세계 부피 방향의 지표는

$\mu ,\nu \in \{0,1,\dots ,p\}$

로 표기하자. 또한, 이 검은 막이 속도 $u^{\mu }$를 갖는다고 하자 ($u^{\mu }{u}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }=-1$). 그렇다면, 검은 $p$-막은 다음과 같은 좌표

$({\sigma }^0,{\sigma }^1,\dots ,{\sigma }^p,r,{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_{n-p-2})$

로 주어지며, 이에 대한 리만 계량은 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=({\eta }_{\mu \nu }+(R/r{)}^{n-p-3}{u}_{\mu }{u}_{\nu })\mathrm{d}{\sigma }^{\mu }\mathrm{d}{\sigma }^{\nu }+{(1-(R/r{)}^{n-p-3})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}_{n-p-2}^2$

여기서

• ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(-1,1,\dots ,1)$은 $p+1$차원 민코프스키 계량이다.
• $\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}_{n-p-2}^2$는 $(n-p-2)$차원 초구의 계량이다.
• $R$는 길이의 단위를 갖는 상수이다.

성질

질량 중심 틀에서, 속도는

$u_a{u}_b={\delta }_{a0}{\delta }_{b0}$

이 된다. 이 경우, 계량은

$\mathrm{d}{s}^2=-(1-(R/r{)}^{n-p-3})\mathrm{d}{t}^2+\sum _{i=1}^p(\mathrm{d}{\sigma }^i{)}^2+{(1-(R/r{)}^{n-p-3})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}_{n-p-2}^2$

가 된다.

대칭

이 검은 막은

$\mathrm{IO}(p,1)\times \mathrm{O}(n-p-1)$

대칭을 갖는다. 이 직접곱의 첫 성분은 $p+1$차원 푸앵카레 대칭이며, 둘째 성분은 막을 축으로 하는 회전 대칭(직교군)이다.

사건 지평선

이 계량은

$r=R$

에서 사건 지평선을 갖는다.

응용

끈 이론에서, 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력의 검은 막으로 나타난다. 이들은 AdS/CFT 대응성을 유도할 때 중요한 역할을 한다.

M-막

틀:본문 틀:본문 11차원 초중력의 경우, M이론의 M2-막과 M5-막에 해당하는 극대 검은 2-막 및 5-막이 존재한다. 이 경우, 계량 텐서는

$d{s}^2=H_{\mathrm{M}p}(r{)}^{-2/3}{\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }+H_{\mathrm{M}p}(r{)}^{1/3}{\delta }_{ij}d{y}^{i}d{y}^j$

이다. 여기서

$H_{\mathrm{M}p}(r)=1+{\left(\frac{r_{\mathrm{M}p}}{r}\right)}^{8-p}$

이고,

$r_{\mathrm{M}2}^6=32{\pi }^2{N}_2{l}_p^6$

$r_{\mathrm{M}5}^3=\pi N_5{l}_p^3$

이다. 또한 게이지장은

$F_4=d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{H}_{\mathrm{M}2}^{-1}$ (M2-막)

$F_4=*(d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3\wedge d{x}^4\wedge d{x}^5\wedge d{H}_{\mathrm{M}5}^{-1})$ (M5-막)

이다. 여기서 $*$는 11차원의 호지 쌍대이다.

D-막

틀:본문 10차원 초중력에서는 Dp-막에 해당하는 극대 검은 p-막들이 존재한다. 그 계량 텐서는 (끈 틀(틀:Llang)에서) 다음과 같다.

$d{s}^2=H_{\mathrm{D}p}(r{)}^{-1/2}{\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }+H_{\mathrm{D}p}(r{)}^{1/2}{\delta }_{ij}d{y}^{i}d{y}^j$

여기서

$H_{\mathrm{D}p}(r)=1+{\left(\frac{r_p}{r}\right)}^{7-p}$

$r=\sqrt{{\delta }_{ij}{y}^i{y}^j}$

이고,

$r_p^{7-p}=(2\sqrt{\pi }{)}^{5-p}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{7-p}{2}\right)g_{s}N{l}_s^{7-p}$

이다. 이 경우 딜라톤은

$\exp (\mathrm{\Phi })=\exp ({\mathrm{\Phi }}_0)H_{\mathrm{D}p}^{(3-p)/4}$

이고, ${\mathrm{\Phi }}_0$은 $r\to \mathrm{\infty }$에서의 딜라톤 크기다. 라몽-라몽 장세기 $F_{p+2}$는 다음과 같다.

$F_{p+2}=d{H}_{\mathrm{D}p}^{-1}\wedge {\omega }_{p+1}$

여기서 ${\omega }_{p+1}=d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^p$는 p-막의 세계부피 형식이다.

외부 링크

• 틀:Nlab