갈릴레온

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서 갈릴레온(틀:Llang)은 특별한 대칭을 갖는, 고차 미분 상호 작용을 갖는 스칼라장이다.

정의

민코프스키 공간 위의 스칼라장 $\varphi$의 이론을 생각하자. 이 이론이 만약 다음과 같은 갈릴레이 변환

$\varphi (x)\mapsto \varphi (x)+a+b_{\mu }{x}^{\mu }$

에 대하여 불변이라면, 스칼라장 $\varphi$를 갈릴레온이라고 한다.

작용

$D$차원의 시공간에 존재하는 갈릴레온 $\varphi$의 작용은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

$ℒ=\sum _{n=0}^D{\alpha }_{n+1}\varphi {ϵ}^{{\mu }_1\dots {\mu }_D}{ϵ}^{{\nu }_1\dots {\nu }_D}\prod _{i=1}^n{\partial }_{{\mu }_i}{\partial }_{{\nu }_i}\varphi \prod _{j=n+1}^D{g}_{{\mu }_i{\nu }_i}=D!{\alpha }_0\varphi +(D-1)!{\alpha }_1\varphi (\partial \varphi {)}^2+(D-2)!{\alpha }_2\varphi (({\partial }^2\varphi )({\partial }^2\varphi )-({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )({\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\varphi ))+\cdots +{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_D}^{{\mu }_1\dots {\mu }_D}({\partial }_{{\mu }_1}{\partial }_{{\nu }_2}\varphi )\cdots ({\partial }_{{\mu }_D}{\partial }_{{\nu }_D}\varphi )$

여기서 ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots$는 임의의 실수 결합 상수이며, ${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_D}^{{\mu }_1\dots {\mu }_D}$는 일반화 크로네커 기호 ($({\nu }_1,\dots ,{\nu }_D)=({\mu }_{\sigma (1)},\dots ,{\mu }_{\sigma (D)})$일 때, ${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_D}^{{\mu }_1\dots {\mu }_D}=(-{)}^{\sigma }$)이다.

양자역학적으로 이론이 잘 정의되려면 (바닥 상태가 존재하려면) ${\alpha }_1=0$이어야 한다. 또한, 항상 $\varphi$에 상수를 곱하여

${\alpha }_2=\frac{(-{)}^D}{2(D-1)!}$

로 놓을 수 있다 (운동항의 규격화).

특수 갈릴레온(틀:Llang)은 다음과 같은 결합 상수를 갖는 갈릴레온이다.

${\alpha }_n=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n{M}^{(n-2)(D+2)/2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{n-1})& 2\mid n\\ 0& 2\mid ̸n\end{array}$

여기서 $M$은 질량의 단위를 갖는 결합 상수이다. 특수 갈릴레온은 갈릴레이 대칭 말고도, 다음과 같은 특별한 대칭을 갖는다.

$\varphi \mapsto \varphi +{\theta }^{\mu \nu }(M^{(D+2)}{x}_{\mu }{x}_{\nu }-{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi )$

예를 들어, 4차원에서 특수 갈릴레온은 (장을 재정의하면) 다음과 같다.틀:Rp

$ℒ=-\frac{1}{2}(\partial \varphi {)}^2+\frac{1}{12{\mathrm{\Lambda }}^6}(\partial \varphi {)}^2(({\partial }^2\varphi {)}^2-({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )({\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\varphi ))$

성질

일반적으로, 3차 이상의 고차 미분항을 갖는 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 장의 3차 이상의 미분에 의존하는 편미분 방정식이므로, 불안정하다. 그러나 갈릴레온의 경우 오일러-라그랑주 방정식은 오직 장의 2차 미분에만 의존한다. 즉, 장의 1차 및 0차 및 3차 이상의 미분은 장방정식에 등장하지 않는다.

응용

갈릴레온은 각종 중력 이론에 등장한다.

역사

갈릴레온은 2009년에 중력을 연구하던 중 발견되었다. ‘갈릴레온’이라는 이름은 그 대칭이 마치 갈릴레이 변환과 흡사한 것에서 유래한다.

특수 갈릴레온은 2014년 경에 발견되었다.