모델-베유 군

산술 기하에서 모델–베유 군은 수체 $K$ 위에 정의된 모든 아벨 버라이어티 $A$와 관련된 아벨 군이다. 이는 아벨 버라이어티의 산술 불변량이다. 그것은 단순히 $A$의 $K$-점들의 군이다. 그래서 $A(K)$가 모델–베유 군이다^{pg 207}. 이 군에 대한 주요 구조 정리는 이 군이 실제로 유한 생성 아벨 군임을 보여주는 모델-베유 정리이다. 또한 이 군과 관련된 많은 추측이 있는데, 예를 들어, $A(K)$의 랭크와 특정 점에서 연관된 L-함수의 근을 연관시키는 버치-스위너턴다이어 추측이 있다.

예

아벨 버라이어티의 모델–베유 군의 명시적 예를 구성하는 것은 항상 성공이 보장되지는 않는 중요한 과정이므로 대신 특정 타원 곡선

$E/\mathbb{Q}$

의 경우를 보겠다.

$E$

가 유리수 체 위에서 바이어스트라스 방정식

$y^2=x(x-6)(x+6)$

으로 정의된 타원곡선이라 하자. 이는 판별식

${\mathrm{\Delta }}_E=2^{12}\cdot 3^6$

를 갖는다. (그리고 이 다항식은 대역 모델

$ℰ/\mathbb{Z}$

을 정의하는 데 사용될 수 있다. ). 이는

$E(\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}$

임을 다음 절차를 통해 보일 수 있다. 먼저, 몇 가지 숫자를 연결하여 몇 가지 명백한 비틀림 점을 찾는다:

$\mathrm{\infty },(0,0),(6,0),(-6,0)$

더욱이, 더 작은 정수 쌍을 시도한 후에

$(-3,9)$

을 발견했다. 이는 분명히 비틀림이 아닌 점이다.

$E(\mathbb{Q})$

의 비틀림 부분을 찾는 데 유용한 결과 중 하나는

$p$

와 서로소인 비틀림이다.

$E(\mathbb{Q}{)}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s},p}$

로 나타내는

$p$

로의 좋은 축소를 가지는

$E$

에 대해,

$E({𝔽}_p)$

로 가는 단사

$E(\mathbb{Q}{)}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s},p}\hookrightarrow E({𝔽}_p)$

두 개의 소수

$p=5,7$

를 확인하고 집합의 기수를 계산한다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\#}E({𝔽}_5)& =8=2^3\\ \mathrm{\#}E({𝔽}_7)& =12=2^2\cdot 3\end{array}$

두 소수 모두

$2^2$

만 포함하기 때문에 주의하라. 우리는 비틀림 점을 모두 찾았다. 게다가 우리는 점

$(-3,9)$

을 알고 있다 그렇지 않으면 두 크기가 공유하는 소인수를 가지기 때문에 랭크는 무한이다. 따라서 랭크는 최소한

$1$

. 이제 랭크를 계산하는 것은 군 계산

$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/2{)}^{r+2}$

, 여기서

$r=\mathrm{rank}(E(\mathbb{Q}))$

으로 구성된 더 힘든 과정이다. 호몰로지 대수학 및 쿰머 사상의 긴 완전열을 사용한다.

특별한 경우에 관한 정리

특정 차원의 아벨 버라이어티, 특정 체 또는 기타 특별한 속성을 갖는 모델-베유 군의 구조에 대한 많은 정리가 문헌에 있다.

유리함수체 k(t) 위의 아벨 버라이어티

고정 체

$k$

에 대해 정의된 초타원 곡선

$C$

과 아벨리안 버라이어티

$A$

에 대해,

$A{|}_{k(t)}$

의 비틀림을

$A_b$

로 표시하자. (

$A$

를 함수체

$k(t)=k({\mathbb{P}}^1)$

로 당김) 덮개 사상

$f:C\to {\mathbb{P}}^1$

과 관련된 체 확대의 갈루아 코호몰로지에 대해 1-여순환

$b\in Z^1(\mathrm{Gal}(k(C)/k(t)),\text{Aut}(A))$

$G=\mathrm{Gal}(k(C)/k(t)\cong \mathbb{Z}/2$

임을 주의하라. 이는 사상이 초타원형이라는 점에서 유래한다. 더 명확하게 말하면, 이 1-여순환은 군 사상으로 제공된다.

$G\times G\to \mathrm{Aut}(A)$

보편 성질을 사용하는 것은 두 개의 사상

$G\to \text{Aut}(A)$

을 제공하는 것과 같다. 따라서 우리는 그것을 사상

$b=(b_{id},b_{\iota })$

으로 쓸 수 있다. 여기서

$b_{id}$

는 포함 사상이고

$b_{\iota }$

는 네거티브

${\mathrm{Id}}_A$

로 보내진다. 이것은 대수 기하학의 일반 이론을 사용하여 ^{pg 5}

$k(t)$

위의 비틀린 아벨 버라이어티

$A_b$

를 정의하는 데 사용될 수 있다. 특히, 이 구성의 보편 성질으로부터,

$k(t)$

위의

$A_b$

는 기저체를

$k(C)$

로 바꾸면

$A{|}_{k(C)}$

와 동형인 아벨 버라이어티이다.

정리

위에 주어진 설정의 경우, 아벨 군의 동형이 있다.

$A_b(k(t))\cong {\mathrm{Hom}}_k(J(C),A)\oplus A_2(k)$

여기서

$J(C)$

는 곡선

$C$

의 야코비안이다 , 그리고

$A_2$

는

$A$

의 2-비틀림 부분 군이다.

같이 보기

• 모델–베유 정리

참고문헌

추가 사례

• 종수 2 곡선의 모델-체유 군
• 보편 타원 곡선의 모델-베유 군 결정
• Galois descent and twists of an abelian variety
• 함수체에서 정의된 야코비안들의 모델-베유 야코비 군