크로네커 보조정리

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 크로네커 보조정리(틀:Llang)는 큰 수의 법칙의 증명에 사용되는 보조정리다. 이에 따르면, 수렴급수의 항이 0으로 수렴하는 속도는 충분히 빠르다. 증명은 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리를 사용한다.

정의

크로네커 보조정리에 따르면, 임의의 두 실수 수열 $(a_{n})_{n = 0}^{\infty} \subset ℝ$ , $(b_{n})_{n = 0}^{\infty} \subset ℝ$ 에 대하여, 만약 급수

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

가 수렴하며,

b_{0} \leq b_{1} \leq b_{2} \leq \dots

\lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty

라면,

\lim_{n \to \infty} b_{n}^{- 1} \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{i} = 0

A_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} (n \in ℕ)

A = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

이라고 하자. 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리에 의하여, 다음이 성립한다.

\begin{matrix} \lim_{n \to \infty} b_{n}^{- 1} \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{i} & = \lim_{n \to \infty} b_{n}^{- 1} (A_{n} b_{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} A_{i} (b_{i + 1} - b_{i})) \\ = \lim_{n \to \infty} (A_{n} - b_{n}^{- 1} \sum_{i = 0}^{n - 1} A_{i} (b_{i + 1} - b_{i})) \\ = \lim_{n \to \infty} (A_{n} - (b_{n} - b_{n - 1})^{- 1} A_{n - 1} (b_{n} - b_{n - 1})) \\ = \lim_{n \to \infty} (A_{n} - A_{n - 1}) \\ = A - A \\ = 0 \end{matrix}