하루키 정리

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 하루키 정리(틀:Llang)는 서로 두 점에서 만나는 세 원의 성질을 다루는 정리이다. 체바 정리와 유사한 등식을 결론으로 한다.

정의

세 원의 각 쌍이 서로 다른 두 점에서 만난다고 하자. 첫째 원 외부에 위치하는 둘째 원과 셋째 원의 교점을 $A$라고 하고, 남은 교점을 $D$라고 하자. 마찬가지로 둘째 원 외부에 위치하는 셋째·첫째 원의 교점을 $B$, 남은 교점을 $E$라고 하고, 셋째 원 외부에 위치하는 첫째·둘째 원의 교점을 $C$, 남은 교점을 $F$라고 하자. 하루키 정리에 따르면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\frac{AF}{BF}\cdot \frac{BD}{CD}\cdot \frac{CE}{AE}=1$

즉, $AF=a$, $BF=b$, $BD=c$, $CD=d$, $CE=e$, $AE=f$라고 정의할 경우

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}=1$

이 성립한다.

증명

직선 $AD$, $BE$, $CF$는 각각 세 원의 각 쌍의 근축이므로, 근심 $R$에서 만난다.틀:Rp 같은 원 속 같은 호의 원주각의 크기가 같다는 성질과 맞꼭지각의 크기가 같다는 성질을 이용하면, 삼각형 $AER$와 $BDR$, 삼각형 $BFR$와 $CER$, 삼각형 $CDR$와 $AFR$는 서로 닮음임을 알 수 있다. 따라서

$\frac{AE}{BD}=\frac{ER}{DR},\frac{BF}{CE}=\frac{FR}{ER},\frac{CD}{AF}=\frac{DR}{FR}$

이며,

$\begin{array}{cc}\frac{AF}{BF}\cdot \frac{BD}{CD}\cdot \frac{CE}{AE}& =\frac{BD}{AE}\cdot \frac{CE}{BF}\cdot \frac{AF}{CD}\\ & =\frac{DR}{ER}\cdot \frac{ER}{FR}\cdot \frac{FR}{DR}\\ & =1\end{array}$

이다.

역사

워털루 대학교의 히로시 하루키 교수가 제시하였다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용