클라인 부분군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 클라인 부분군(Klein部分群, 틀:Llang)은 $\mathrm{PSL}(2;ℂ)$의 이산 부분군이다.

정의

복소수 계수 2차원 사영 선형군 $\mathrm{PSL}(2;ℂ)$를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다.

• 3차원 쌍곡 공간 ${ℍ}^3$의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다.
• 3차원 열린 공 ${𝔹}^3\subseteq {ℝ}^3$의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다.

$\mathrm{PSL}(2;ℂ)$의 부분군 $\mathrm{\Gamma }\le \mathrm{PSL}(2;ℂ)$이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 클라인 부분군이라고 한다.

• 임의의 $x\in {𝔹}^3$의 안정자군 $\{\gamma \in \mathrm{\Gamma }:\gamma \cdot x=x\}$은 유한군이다.
• 임의의 $x\in {𝔹}^3$의 궤도 $\mathrm{\Gamma }\cdot \{x\}\subseteq {𝔹}^3$는 (${𝔹}^3$의 부분 공간으로서) 이산 공간이다.

무한구

열린 공 ${𝔹}^3$의 (${ℝ}^3$ 속에서의) 폐포 $\mathrm{cl}({𝔹}^3)$를 생각하자. $\mathrm{PSL}(2;ℂ)$ 및 모든 클라인 부분군은 $\mathrm{cl}({𝔹}^3)$ 위에 자연스럽게 작용한다.

경계 ${𝕊}_{\mathrm{\infty }}^2=\partial ({𝔹}^3)=\mathrm{cl}({𝔹}^3)\setminus {𝔹}^3$ 를 무한구(틀:Llang)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 $\mathrm{\Gamma }$는 그 위에 작용한다. 임의의 점 $p\in {𝕊}_{\mathrm{\infty }}^2$의 궤도

$\mathrm{\Gamma }\cdot \{p\}\subseteq {𝕊}_{\mathrm{\infty }}^2$

의 응집점의 집합을 $\mathrm{\Gamma }$의 극한 집합(틀:Llang)이라고 한다.

성질

클라인 부분군 $\mathrm{\Gamma }$이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 $\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma })\subseteq {𝕊}_{\mathrm{\infty }}^2$을 생각하자. 만약 $\mathrm{\Gamma }$가 $\mathrm{PSL}(2;ℂ)$의 유한 생성 부분군이라면,

$\frac{{𝕊}_{\mathrm{\infty }}^2\setminus \mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma })}{\mathrm{\Gamma }}$

는 리만 곡면의 유한형 오비폴드이다.

역사

펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레가 1883년에 도입하였다. “클라인 부분군”(틀:Llang)이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다.

예

자명군은 자명하게 클라인 부분군이다.

비안키 군

양의 제곱 인수가 없는 정수 $d$에 대하여, 허수 이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$의 대수적 정수환 ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-d})}$이 주어졌을 때,

$\mathrm{PSL}(2;{𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-d})})$

는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 비안키 군(틀:Llang)이라고 한다.

쌍곡 다양체의 기본군

임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체 $M$의 기본군 ${\pi }_1(M)$이 클라인 부분군 $\mathrm{\Gamma }\le \mathrm{PSL}(2;ℂ)$과 (군으로서) 동형일 때, $M$은 ${ℍ}^3/\mathrm{\Gamma }$와 미분 동형이다. 이 경우, ${ℍ}^3/\mathrm{\Gamma }$를 $M$의 클라인 모형(틀:Llang)이라고 한다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드