구조 다양체

정의

리 군 $G$ 및 $G$ 의 충실한 유한 차원 실수 표현

ρ : G \to GL (n; ℝ)

이 주어졌다고 하자. $(G, ρ)$ -구조 다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

즉, 각 점 $x \in M$ 에서, 특별한 틀

ℝ^{n} \to 𝔼_{x}

들의 집합이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 추이적 오른쪽 $G$ -작용이 존재한다.

이는 사실 $E$ 와 $P \times_{G} ℝ^{n}$ 사이의 벡터 다발 동형 사상과 동치이다.

그 접다발이 $(G, ρ)$ -구조를 갖는 매끄러운 다양체를 $(G, ρ)$ -구조 다양체라고 한다. 이 경우, $(G, ρ)$ -구조는 어떤 1차 미분 형식

Ω^{1} (M; P \times_{G} ℝ^{n})

에 의하여 주어지는데, 이를 접착 형식(틀:Llang)이라고 한다.

$G$ -구조 벡터 다발 $E ↠ M$ 의 호환 접속(틀:Llang)은 코쥘 접속

\nabla : Γ^{\infty} (E) \to Γ^{\infty} (T^{*} M \otimes E)

가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

임의의 폐곡선 $γ : [0, 1] \to M$ ( $γ (0) = γ (1)$ )에 대하여, $γ$ 에 대한 홀로노미 ${Hol}_{γ} \in GL (n; ℝ)$ 는 $G$ 에 속한다.

$(E, P)$ 위의 $G$ -호환 접속들의 공간은

Ω^{1} (M; P \times_{G} 𝔤)

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속 $\nabla$ 의 곡률

F_{\nabla} (X, Y) \in 𝔤 𝔩 (E)

은 다음과 같은 2차 미분 형식을 이룬다.

F \in Ω^{2} (M; P \times_{G} 𝔤)

다음과 같이, 다양한 미분기하학적 구조들은 $G$ -구조 다양체의 개념의 특수한 경우이다.