블록 행렬

2ⁱ × 2^j (i, j = 1, 2, 3)의 행렬 블록들로 분할된 14 × 14 행렬

수학에서 블록 행렬(block行列, 틀:Llang) 또는 분할 행렬(分割行列, 틀:Llang)은 더 작은 행렬 블록들로 분할되었다고 간주된 행렬이다. 즉, 행렬의 행과 열을 수평선 및 수직선들을 통해 분할하는 것이다. 블록 행렬은 행렬의 구조를 더 알기 쉽게 만들며, 행렬의 연산을 호환되는 블록 행렬 연산으로 대신할 수 있다.

정의

체 $K$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$가 주어졌다고 하자. 또한,

$m=m_1+m_2+\cdots +m_p$

$n=n_1+n_2+\cdots +n_q(m_i,n_i\in {\mathbb{Z}}^{+})$

라고 하자. 그렇다면 $M$은 다음과 같은 블록 행렬로 나타낼 수 있다.

$M=\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}& M_{12}& \cdots & M_{1q}\\ M_{21}& M_{22}& \cdots & M_{2q}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ M_{p1}& M_{p2}& \cdots & M_{pq}\end{array}\right)$

여기서 $M_{ij}$는 다음과 같은 $m_i\times n_j$ 행렬이다.

$M_{ij}(k,l)=M(m_1+\cdots +m_{i-1}+k,n_1+\cdots +n_{j-1}+l)$

종류

특별한 성질들을 만족시키는 블록 행렬을 정의할 수 있다.

• 블록 대각 행렬(block對角行列, 틀:Llang): 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 대각 행렬이 된다.
• 블록 상(하)삼각 행렬(block上(下)三角行列, 틀:Llang): 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 상(하)삼각 행렬이 된다.

성질

행렬 곱셈

블록 행렬의 곱셈의 예시

행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 다만, 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열수와 오른쪽 행렬의 행수가 같아야 하는 것과 같이, 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열의 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행의 분할 방법이 같아야 한다. 즉, $M\in \mathrm{Mat}(m,n;K)$가 체 $K$ 위의 $m\times n$ 행렬이며, 임의의 $i\in \{1,\dots ,q\}$ 및 $j\in \{1,\dots ,r\}$에 대하여, 블록 $M_{ij}$가 $m_i\times n_j$ 행렬이라고 하자. 마찬가지로, $N\in \mathrm{Mat}(n,p;K)$가 $K$ 위의 $n\times p$ 행렬이며, 임의의 $i\in \{1,\dots ,q\}$ 및 $j\in \{1,\dots ,s\}$에 대하여, 블록 $N_{ij}$가 $n_i\times p_j$ 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 $MN$의 각 블록 $(MN{)}_{ij}$는 다음과 같은 $m_i\times p_j$ 행렬이다.

$(MN{)}_{ij}=\sum _{k=1}^r{M}_{ik}{N}_{kj}(i\in \{1,\dots ,q\},j\in \{1,\dots ,s\})$

이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}& M_{12}& \cdots & M_{1r}\\ M_{21}& M_{22}& \cdots & M_{2r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ M_{q1}& M_{q2}& \cdots & M_{qr}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{N}_{11}& N_{12}& \cdots & N_{1s}\\ N_{21}& N_{22}& \cdots & N_{2s}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ N_{r1}& N_{r2}& \cdots & N_{rs}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\sum _{k=1}^r{M}_{1k}{N}_{k1}& \sum _{k=1}^r{M}_{1k}{N}_{k2}& \cdots & \sum _{k=1}^r{M}_{1k}ks\\ \sum _{k=1}^r{M}_{2k}{N}_{k1}& \sum _{k=1}^r{M}_{2k}{N}_{k2}& \cdots & \sum _{k=1}^r{M}_{2k}ks\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \sum _{k=1}^r{M}_{qk}{N}_{k1}& \sum _{k=1}^r{M}_{qk}{N}_{k2}& \cdots & \sum _{k=1}^r{M}_{qk}ks\end{array}\right)$

항등식

다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재하여야 한다.)

$\det \left(\begin{array}{cc}{A}_{m\times m}& B_{m\times n}\\ C_{n\times m}& D_{n\times n}\end{array}\right)=\det (D)\det (A-B{D}^{-1}C)=\det (A)\det (D-C{A}^{-1}B)$

${\left(\begin{array}{cc}{A}_{m\times m}& B_{m\times n}\\ C_{n\times m}& D_{n\times n}\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}& -A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\\ -(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}& (D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\end{array}\right)$

예

행렬

$P=\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

는 블록 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$P=\left(\begin{array}{c}{J}_{2\times 2}(2)\\ & J_{3\times 3}(1)\end{array}\right)$

여기서

$J_{n\times n}(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 1\\ & {\lambda }_2& 1\\ & & \ddots & \ddots \\ & & & {\lambda }_{n-1}& 1\\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right)({\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n=\lambda )$

따라서, $P$는 블록 대각 행렬이다.

같이 보기

• 크로네커 곱
• 조르당 표준형
• 슈트라센 알고리즘

외부 링크

• 틀:매스월드