삼각군

틀:위키데이터 속성 추적 군론과 기하학에서 삼각군(三角群, 틀:Llang)은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 군이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 2 이상의 세 수 $l,m,n\in \{2,3,4,\dots ,\mathrm{\infty }\}$.

$(l,m,n)$-삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)$은 군이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다.

• 대수적으로, 삼각군은 콕서터 군의 일종이다.
• 기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 테셀레이션을 정의하는 대칭군이다.

세 정수 $(l,m,n)$의 순열을 취해도 서로 동형인 군을 얻는다. 따라서, 보통 $l\le m\le n$인 순서로 배열한다.

대수적 정의

$(l,m,n)$-삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)$은 다음과 같은 표시를 갖는 콕서터 군이다.

$\mathrm{△}(l,m,n)=⟨a,b,c|a^2=b^2=c^2=(ab{)}^l=(bc{)}^m=(ca{)}^n=1⟩$

여기서, $l$ 또는 $m$ 또는 $n$이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어,

$\mathrm{△}(l,m,\mathrm{\infty })=⟨a,b,c|a^2=b^2=c^2=(ab{)}^l=(bc{)}^m=1⟩$

이다.

기하학적 정의

$X$를 다음과 같이 정의하자.

• 만약 $1/l+1/m+1/n<1$라면, $X$는 쌍곡 평면 ${ℍ}^2$이다.
• 만약 $1/l+1/m+1/n=1$라면, $X$는 유클리드 평면 ${ℝ}^2$이다.
• 만약 $1/l+1/m+1/n>1$라면, $X$는 실수 사영 평면 ${ℝ\mathbb{P}}^2$이다.

이 경우, $X$ 위에, 세 각이 각각 $(\pi /l,\pi /m,\pi /n)$ 라디안인 삼각형을 그릴 수 있다. (여기서 $\pi /\mathrm{\infty }=0$이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을 $(l,m,n)$-삼각군이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약 $1/l+1/m+1/n=1$라면 삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)$은 2차원 유클리드 군

$\mathrm{IO}(2;ℝ)={ℝ}^2⋊\mathrm{O}(2;ℝ)$

의 부분군이 된다.

쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이 $(\pi /2,\pi /2,0)$으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어

$\{(x,y):x\ge 0,0\le y\le 1\}$

이다.

폰 뒤크 군

폰 뒤크 군(von Dyck群, 틀:Llang) $\mathrm{D}(l,m,n)\le \mathrm{△}(l,m,n)$은 $(l,m,n)$-삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)$의, 다음과 같은 부분군이다.

• 대수적 정의: $(l,m,n)$-삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)=⟨a,b,c|a^2=b^2=c^2=(ab{)}^l=(bc{)}^m=(ca{)}^n=1⟩$의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 $(a,b,c)$로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, $(x,y)=(ab,bc)$로 놓으면, $\mathrm{D}(l,m,n)=⟨x,y|x^l=y^m=(xy{)}^n=1⟩$이다.

• 기하학적 정의: $(l,m,n)$-삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)$ 가운데, 국소적으로 방향을 보존하는 것이다. (가향 다양체인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체가 아니므로 대역적인 방향의 개념이 존재하지 않는다.)

성질

삼각군 $\mathrm{△}(l,m,n)$이 유한군일 필요 충분 조건은 구형인 경우, 즉 $1/l+1/m+1/n>1$인 것이다. 이는 쌍곡 평면이나 유클리드 평면과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간이기 때문이다.

쌍곡 폰 뒤크 군은 푹스 군이다.

분류

구형 삼각군, 즉 $1/l+1/m+1/n>1$인 경우의 목록은 다음과 같다.

• $(2,2,n)$, $n=2,3,4,\dots$
• $(2,3,3)$. 이는 정사면체의 대칭군이다.
• $(2,3,4)$. 이는 정육면체 및 정팔면체의 대칭군이다.
• $(2,3,5)$. 이는 정십이면체 및 정이십면체의 대칭군이다.

• 
  (2,2,2)-삼각군
• 
  (2,2,3)-삼각군
• 
  (2,2,4)-삼각군
• 
  (2,2,5)-삼각군
• 
  (2,2,6)-삼각군
• 
  (2,2,∞)-삼각군

• 
  (2,3,3)-삼각군
• 
  (2,3,4)-삼각군
• 
  (2,3,5)-삼각군

유클리드 삼각군, 즉 $1/l+1/m+1/n=1$인 경우의 목록은 다음과 같다.

• $(2,3,6)$. 이는 평면의 정육각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.
• $(2,4,4)$. 이는 평면의 정사각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.
• $(3,3,3)$. 이는 평면의 정삼각형을 통한 테셀레이션에 대응한다.

• 
  (2,3,6)-삼각군에 대응하는 테셀레이션
• 
  (2,4,4)-삼각군에 대응하는 테셀레이션
• 
  (3,3,3)-삼각군에 대응하는 테셀레이션

위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다.

• $(2,3,n)$, $n=7,8,9,\dots$
• $(2,4,n)$, $n=5,6,7,\dots$
• $(3,3,n)$, $n=4,5,6,\dots$
• $(3,m,n)$, $4\le m\le n$
• $(l,m,n)$, $4\le l\le m\le n$

• 
  (2,3,7)-삼각군
• 
  (2,3,8)-삼각군
• 
  (2,3,9)-삼각군
• 
  (2,3,∞)-삼각군

• 
  (2,4,5)-삼각군
• 
  (2,4,6)-삼각군
• 
  (2,4,7)-삼각군
• 
  (2,4,8)-삼각군
• 
  (2,4,∞)-삼각군

• 
  (2,5,5)-삼각군
• 
  (2,5,6)-삼각군
• 
  (2,5,7)-삼각군

• 
  (3,3,4)-삼각군
• 
  (3,3,5)-삼각군
• 
  (3,3,6)-삼각군
• 
  (3,3,7)-삼각군
• 
  (3,3,∞)-삼각군

• 
  (3,4,4)-삼각군
• 
  (3,6,6)-삼각군
• 
  (6,6,6)-삼각군
• 
  (∞,∞,∞)-삼각군

예

(2,3,7)-폰 뒤크 군은 클라인 4차 곡선의 이론에서 등장한다.

모듈러 군

$⟨S,T|S^2=(ST{)}^3=1⟩$

은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.

역사

1856년에 이미 윌리엄 로언 해밀턴이 정이십면체의 대칭군이 폰 뒤크 군 $\mathrm{D}(2,3,5)$임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”(틀:Llang)이라고 불렀다. 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 “폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(틀:Llang, 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용