해다양체

정의

매끄러운 다양체 $M$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 해다양체라고 한다.

모든 해다양체는 콤팩트 해다양체 위의 벡터 다발과 미분 동형이다. (이는 조지 모스토가 추측하였고,^[1] 루이스 오슬랜더(틀:Llang)와 리처드 톨미에리(틀:Llang)가 1970년에 증명하였다.^[2])

같은 기본군을 갖는 콤팩트 해다양체는 서로 미분 동형이다. 군 $G$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$π_{1} (M) ≅ G$ 인 해다양체 $M$ 이 존재한다.
자유 아벨 군의, 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군에 대한 확대이다. 즉, $1 \to N \to G \to ℤ^{\oplus k} \to 1$ 이 되는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군 $N$ 및 자연수 $k \in ℕ$ 가 존재한다.

특히, 해다양체의 기본군은 다순환군(틀:Llang)이다.

모든 해다양체는 비구형 공간(틀:Llang)이다. 즉, 해다양체 $X$ 의 모든 2차 이상 호모토피 군은 자명군이다.

π_{n} (X) = 1 (n = 2, 3, \dots)

콤팩트 동차공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[3]

멱영 리 군은 가해 리 군이므로, 모든 영다양체는 해다양체이다. 특히, 모든 원환면은 해다양체이다.

클라인 병은 영다양체가 아닌 해다양체이다. 뫼비우스 띠는 비콤팩트 해다양체의 예이며, 이는 (자명하게 해다양체인) 원 위의 자명하지 않은 실수 선다발이다.

2차원 푸앵카레 군 ${ISO}^{+} (1, 1) ≅ ℝ^{2} ⋊ ℝ$ 은 3차원 가해 리 대수이며, 콤팩트 몫공간을 갖는다. 이 몫공간들은 콤팩트 해다양체의 예이다. 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하들 가운데 하나이다.