사원수 벡터 공간

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 사원수 벡터 공간(틀:Llang)는 사원수 대수 $ℍ$ 위의 가군이다.

정의

사원수 벡터 공간은 환론에서의 가군의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

사원수 대수의 가군

사원수 대수 $ℍ$는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한, $ℍ$는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산

$\stackrel{}{¯}:ℍ\to ℍ$

$\stackrel{}{¯}:a+ib+jc+kd\mapsto a-ib-jc-kd$

아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.

$ℍ\cong {ℍ}^{\mathrm{op}}$

따라서, $ℍ$ 위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

사원수 대수 $ℍ$ 위의 (자유) 가군을 사원수 벡터 공간이라고 한다.

복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조

$2n$ 차원 복소수 벡터 공간 $V$ 위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는 $ℂ$-반선형 변환 $K:V\to V$이다.

$K^2=-1$

사원수 구조를 갖춘 $2n$ 차원 복소수 벡터 공간을 $n$ 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

실수 벡터 공간 위의 사원수 구조

$4n$ 차원 실수 벡터 공간 $V$ 위의 사원수 구조 $(I,J,K)$는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 $ℝ$-선형 변환

$I,J,K:V\to V$

로 구성된다.

$I^2=J^2=K^2=IJK=-1$

즉, $(I,J,K)$는 $-1$을 보존하는 군 준동형

$\varphi :Q\to \mathrm{GL}(V;ℝ)$

$\varphi :-1\mapsto -{\mathrm{id}}_V$

를 정의한다. 여기서 $Q$는 사원수군이다.

사원수 구조를 갖춘 $2n$ 차원 실수 벡터 공간을 $n$ 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

사원수 선형 변환

사원수 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, $V$ 위의 사원수 선형 변환 $T:V\to V$는 $ℍ$ 위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 $\mathrm{GL}(V;ℍ)$를 이루며, $V$가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조

$n$차원 복소수 벡터 공간 $V$ 위의 실수 구조는 $C^2=1$인 반선형 변환 $C:V\to V$에 의하여 주어진다. 이 경우 $C$는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조(틀:Llang)는 $C^2=1$인 반선형 변환으로서 주어진다.

예

복소수 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, $V\oplus \overline{V}$는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.틀:Rp

$J:(v_1,{\overline{v}}_2)\mapsto (-v_2,{\overline{v}}_1)$

이 함수가 $ℂ$-반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

$J(z(v_1,v_2))=J((z{v}_1,\overline{\overline{z}{v}_2}))=(-\overline{z}{v}_2,\overline{z{v}_1})=\overline{z}(-v_2,{\overline{v}}_1)=\overline{z}J((v_1,v_2))$

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.

$I:(v_1,{\overline{v}}_2)\mapsto (i{v}_1,-\overline{i{v}_2})$

$K=IJ=:(v_1,{\overline{v}}_2)\mapsto (-i{v}_2,-\overline{i{v}_1})$

그렇다면

$I^2=J^2=K^2=IJK=-1$

임을 쉽게 확인할 수 있다.

같이 보기

• 벡터 공간
• 일반선형군
• 특수선형군
• 심플렉틱 군

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab