교대 대수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 추상대수학에서 교대 대수(交代代數, 틀:Llang)는 결합 법칙보다 더 약한 형태의 결합성을 만족시키는 체 위의 대수이다.

정의

표수가 2가 아닌 체 위의 대수 $A$ 에 대하여, 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수를 교대 대수라고 한다.

다음 세 항등식 가운데 적어도 두 개가 성립한다.
- 임의의 $a, b \in A$ 에 대하여, $a (a b) = a^{2} b$ . 즉, $[a, a, b] = 0$ 이다.
- 임의의 $a, b \in A$ 에 대하여, $(a b) b = a b^{2}$ . 즉, $[a, b, b] = 0$ 이다.
- 임의의 $a, b \in A$ 에 대하여, $(a b) a = a (b a)$ . 즉, $[a, b, a] = 0$ 이다.
위 세 항등식 모두가 성립한다.
결합자 $[a, b, c]$ 가 완전 반대칭이다. 즉, 임의의 순열 $σ \in Sym (3)$ 에 대하여 $[a_{1}, a_{2}, a_{3}] = (- 1)^{σ} [a_{σ (1)}, a_{σ (2)}, a_{σ (3)}]$ 이다.

여기서

[a, b, c] = (a b) c - a (b c)

는 결합자이다.

항등원을 갖는 교대 대수에서, 가역원들의 집합은 곱셈에 대하여 무팡 고리(틀:Llang)를 이룬다.

아르틴 정리(틀:Llang)에 따르면, 교대 대수에서 임의의 두 개의 원소로 생성되는 부분 대수는 항상 결합 대수이다.

모든 합성 대수(틀:Llang)는 교대 대수를 이룬다. 체 위의 모든 결합 대수는 교대 대수를 이룬다.

팔원수의 $ℝ$ -대수는 결합 대수가 아닌 교대 대수이다.