하디-리틀우드 타우버 정리

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 하디-리틀우드 타우버 정리(틀:Llang)는 어떤 함수의 라플라스 변환의 극한과 함수의 적분의 극한 사이를 연관짓는 타우버 정리이다.

정의

유계 변동 함수

$f:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $s>0$인 경우 라플라스 변환

$\omega (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-st)df(t)$

이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 임의의 음이 아닌 실수 $\rho \ge 0$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $s\to 0^{+}$이라면 $\omega (s)\sim s^{-\rho }$이다.
• $t\to \mathrm{\infty }$라면 $f(t)\sim t^{\rho }/\mathrm{\Gamma }(\rho +1)$이다.

급수에 대한 형태

급수 $\sum _n{a}_n$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위의 하디-리틀우드 타우버 정리를 $a_k$에 대한 계단 함수

$f(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{a}_k$

에 적용하면, 다음과 같은 형태의 하디-리틀우드 타우버 정리를 얻는다. 만약

• 항상 $a_n\ge 0$이며,
• $y\to 0^{+}$일 때 $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\exp (-ky)\sim 1/y$라면,

다음이 성립한다.

$\sum _{k=0}^n{a}_k\sim n(n\to \mathrm{\infty })$

따름정리

리틀우드 타우버 정리(틀:Llang)에 따르면, 만약 수열 $a_n$이

$a_n\in O(1/n)$

이며, $x\to 1^{-}$일 때

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k\to s$

라면,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k=s$

이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-x{)}^c{a}_k{x}^k=s⟹\sum _{k=0}^n{a}_k\sim \frac{s}{\mathrm{\Gamma }(1+c)}{n}^c$

에서, $c=0$인 특수한 경우이다.

예

하디-리틀우드 타우버 정리에서, $a_n$이 음이 아닌 수라는 조건을 생략하면, 정리는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어,

$g(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2(1-x)}=1-x+2x^2-2x^3+3x^4-3x^5+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_k{x}^k$

를 생각하자. 이 경우 $x\to 1$이라면 $g(x)\sim 1/(4(1-x))$이지만,

$\sum _{k=0}^n{g}_k=\{\begin{array}{cc}n/2+1& 2\mid n\\ 0& 2\nmid n\end{array}\sim ̸n/4$

이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드