완비 측도 공간

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 완비 측도 공간(完備測度, 틀:Llang)는 측도가 0인 가측 집합의 모든 부분 집합이 가측 집합인 측도 공간이다.

정의

측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$이 다음 조건을 만족시킨다면, 완비 측도 공간이라고 한다.

• 모든 영집합은 가측 집합이다. 즉, 만약 $T\subset S\in \mathrm{\Sigma }$에 대하여 $\mu (S)=0$이라면 $T\in \mathrm{\Sigma }$이다.

이 경우, 영집합의 부분 집합은 측도의 공리에 따라서 항상 영집합이 된다.

측도의 완비화

완비하지 않은 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$에 대하여, 이를 완비 측도 공간 $(X,{\mathrm{\Sigma }}_0,{\mu }_0)$에 대응시키는 표준적인 연산이 존재한다. 이를 측도 공간의 완비화(틀:Llang)라고 하며, 다음과 같다.

• ${\mathrm{\Sigma }}_0$은 $\mathrm{\Sigma }$와 $\{T\subset X|\mathrm{\exists }S\supset T:\mu (S)=0\}$를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.
• $T\in {\mathrm{\Sigma }}_0$에 대하여, ${\mu }_0$은 다음과 같다.

${\mu }_0(T)=\underset{T\subset S\in \mathrm{\Sigma }}{\inf }\mu (S)\in [0,\mathrm{\infty }]$

예

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 위의 보렐 측도 $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n),{\mu }_{ℬ})$는 완비 측도가 아니다. 이 측도의 완비화는 르베그 측도 $({ℝ}^n,ℒ({ℝ}^n),{\mu }_{ℒ})$이다.

외부 링크

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