직교 여공간

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 직교 여공간(直交餘空間, 틀:Llang)은 주어진 부분공간과 수직인 벡터들의 공간이다.

정의

내적 공간 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$의 부분공간 $W\subset V$의 직교 여공간 $W^{\perp }\subset V$은 다음과 같은 부분공간이다.

$W^{\perp }=\{v\in V|\mathrm{\forall }w\in W:⟨v,w⟩=0\}$

성질

내적 공간 $V$의 부분공간 $W\subset V$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $W^{\perp }$는 닫힌 집합이다.
• $W^{\perp }\cap W=\{0\}$
• $W\subset W^{\perp \perp }$
• 만약 $W_1\subset W_2\subset V$라면, $W_2^{\perp }\supset W_1^{\perp }$이다.

만약 $V$가 힐베르트 공간이라면, 다음이 추가로 성립한다.

• $W\subset \mathrm{cl}(W)=W^{\perp \perp }$ ($\mathrm{cl}$은 폐포). 따라서 만약 $W$가 닫힌 집합이라면 $W=W^{\perp \perp }$이다.
• $W^{\perp }=(\mathrm{cl}W{)}^{\perp }=\mathrm{cl}(W^{\perp })$
• $V=\mathrm{cl}(W)\oplus W^{\perp }$

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드